Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
927 kez görüntülendi


Akademik Matematik kategorisinde (1.8k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi | 927 kez görüntülendi

2 Cevaplar

1 beğenilme 0 beğenilmeme
$a_n=\frac{(n+1)(n+2)\cdots(n+n)}{n^n}$ olarak tanimlayalim. $lim_{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n}=lim_{n \rightarrow \infty}(\frac{4+\frac{6}{n}+\frac{2}{n^2}}{1+\frac{2}{n}+\frac{1}{n^2}})(1-\frac{1}{n+1})^n=\frac{4}{e}$. o zaman $lim_{n \rightarrow \infty} (a_n)^{1/n}=\frac{4}{e}$. Bu da bizim istedigimiz limit.
(25.5k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi
0 beğenilme 0 beğenilmeme

$a_{n}=\dfrac {\left( n+1\right)\left( n+2\right) \ldots \left( n+n\right) } {n^{n}}$ olarak aldığımızda 

$1\leq \lim _{n\rightarrow \infty }\dfrac {\sqrt [n] {\left( n+1\right) \left( n+2\right) \ldots \left( n+n\right) }} {n}\leq 2$ arasında olmalıdır. 

$\dfrac {a_{n+1}} {a_{n}}=\dfrac {\left( n+2\right) \left( n+3\right) \ldots \left( 2n\right) \left( 2n+1\right) \left( 2n+2\right) } {\left( n+1\right) \left( n+2\right) \ldots \left( 2n\right) }\dfrac {n^{n}} {\left( n+1\right) ^{n+1}}$ 

$=\dfrac {\left( 4n+2\right) } {n}\left( 1-\dfrac {1} {n+1}\right) ^{n+1}$    buradan  $\lim _{n\rightarrow \infty }\dfrac {a_{n+1}} {a_{n}}=\lim _{n\rightarrow \infty }\dfrac {\left( 4n+2\right) } {n}\left( 1-\dfrac {1} {n+1}\right) ^{n+1}=\dfrac {4} {e}$ olduğundan $\lim _{n\rightarrow \infty }\sqrt [n] {a_{n}}=\dfrac {4} {e}$ dir.

Şu şekilde de düşünebiliriz aslında 

$a_{n}=\dfrac {\left( n+1\right)\left( n+2\right) \ldots \left( n+n\right) .n!} {n^{n}.n!}=\dfrac {\left( 2n\right) !} {n^{n}.n!}$  olduğu göz önüne alınıp aynı işlemler yapılabilirdi. 

(57 puan) tarafından 
tarafından düzenlendi

evet dogru cozumu bu olmus. son esitlik de kcuk bir hata olmus gibi.

Sercan hocam tam olarak hangisinde hata var? 

$(4n+2)/n$ olan esitlik kisminda galiba. 

$\dfrac {a_{n+1}} {a_{n}}$ oranın sayısal değerlerine bakınca bu eşitlik gözüküyor.. En son $a_{n}$ için verilen eşitlikte $\dfrac {a_{n+1}} {a_{n}}$  ifadesinin sonucu bu yazdığımı getiriyor.

benim 4 islemim cidden iyi degil ama daha da orasi (2n+1)(2n+2)/n(n+1) olacakmis gibi. vaktini de aliyorum ama.

Yok vaktimi almıyorsunuz. Doğru düşünüyorsunuz aslında fakat dizinin o kısmında  kendinden önce gelen ifadenin bir fazlasının çarpımı şeklinde devam ediyor.
20,275 soru
21,804 cevap
73,486 yorum
2,432,051 kullanıcı