Processing math: 100%
Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
1 beğenilme 0 beğenilmeme
1.2k kez görüntülendi

Geometrik serilerin temel özelliklerini kullanarak çözüme ulaşmak mümkün. Beni çok etkileyen bir çözümünü gördüm bu sorunun, o yüzden paylaşıyorum.

İpucu: Riemann toplamı

Lisans Matematik kategorisinde (1.1k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi | 1.2k kez görüntülendi

soruyu, doğru yazdığınızdan emin misiniz?

Düzelttim hocam, teşekkürler.

AR  olmak üzere f:AR sürekli fonksiyonu tanımlansın. Bu f fonksiyonunun tanım kümesinin bir [a,b] alt aralığındaki Riemann toplamına bakalım.

[a,b] aralığını n eşit parçaya bölelim. O halde a=x0<x1<...<xn=b olur.

nk=1f(xk)(xkxk1)   üst Riemann toplamını oluşturalım. O halde;

limn[nk=1f(xk)(xkxk1)]=baf(x)   olur. Şimdi bunu soruya uyarlayalım. [a,b] alt aralığı n parçaya bölündüğünden, xkxk1=ban dir.

baf(x)=limn[nk=1f(xk)(ban)]..................(*)

Soruda verilen ifadeyle (*) ifadesini eşitleyelim.

limn[nk=1f(xk)(ban)]=limn1n(nk=12kn)   Bunun için ba=1  olmalı. 

O zaman limn1n(nk=12kn)=limn10n(nk=120+k(10)n) yani a=0 olmalı. Dolayısıyla b=1  ve f(x)=2x   dir.

Sonuç olarak;

limn1n(nk=12kn)=102x=(2xln2)|10=1ln2

eğer bi yanlış yapmadıysam benim aklıma bu geldi.

2 Cevaplar

0 beğenilme 0 beğenilmeme

limn1nnk=12kn=limn10nnk=12(0+k10n)=102xdx=(2xln2)10=

(11.5k puan) tarafından 
0 beğenilme 0 beğenilmeme

İntegral kullanılmadan da bu limit hesaplanabilir. L'Hospital kuralından:

limx02x1x=ln2 bulunur. O halde,

limnn(21n1)=ln2 olur. 

Diğer taraftan geometrik dizi toplamından, 

n1k=02kn=n1k=0(21n)k=121n1  bulunur.Buradan,

limn1nn1k=02kn=limn1n(21n1)=1ln2

(623 puan) tarafından 
20,298 soru
21,843 cevap
73,549 yorum
2,750,300 kullanıcı