A⊂R olmak üzere f:A→R sürekli fonksiyonu tanımlansın. Bu f fonksiyonunun tanım kümesinin bir [a,b] alt aralığındaki Riemann toplamına bakalım.
[a,b] aralığını n eşit parçaya bölelim. O halde a=x0<x1<...<xn=b olur.
∑nk=1f(xk)(xk−xk−1) üst Riemann toplamını oluşturalım. O halde;
limn→∞[∑nk=1f(xk)(xk−xk−1)]=∫baf(x) olur. Şimdi bunu soruya uyarlayalım. [a,b] alt aralığı n parçaya bölündüğünden, xk−xk−1=b−an dir.
∫baf(x)=limn→∞[∑nk=1f(xk)(b−an)]..................(*)
Soruda verilen ifadeyle (*) ifadesini eşitleyelim.
limn→∞[∑nk=1f(xk)(b−an)]=limn→∞1n(∑nk=12kn) Bunun için b−a=1 olmalı.
O zaman limn→∞1n(∑nk=12kn)=limn→∞1−0n(∑nk=120+k(1−0)n) yani a=0 olmalı. Dolayısıyla b=1 ve f(x)=2x dir.
Sonuç olarak;
limn→∞1n(∑nk=12kn)=∫102x=(2xln2)|10=1ln2
eğer bi yanlış yapmadıysam benim aklıma bu geldi.