Processing math: 0%
Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
1.7k kez görüntülendi

Lim n sonsuza giderken toplam sembolu k=1 den n e kadar kok n inci dereceden 1+k/n 

Lisans Matematik kategorisinde (31 puan) tarafından 
tarafından düzenlendi | 1.7k kez görüntülendi
<p> Darboux teoremi ile çözülebilen bir soru
</p>

Sorunuz bu mu?

\lim\limits_{n\rightarrow \infty}\sum_{k=1}^{n}\sqrt[n]{1+\frac{k}{n}}=?

<p> Evet soru bu fakat cevaba ulasamiyorum :)
</p>

Herhalde eksik bir şey var. Bu haliyle ilginç değil.

Her k=1,2,\ldots,n için \sqrt[n]{1+\frac kn}\geq1 olduğundan,

\sum_{k=1}^n\sqrt[n]{1+\frac kn}\ \geq n  olur ve bunun sonucu olarak:

\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n\sqrt[n]{1+\frac kn}=+\infty olur.

<p> Hocam haklisiniz toplam semboluyle koklu ifade arasinda ln olacak.Tesekkur ediyorum
</p>

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme

Şimdi sorunuzu cevaplayabiliriz.

\lim_{n\rightarrow \infty}\sum_{k=1}^{n}\ln\sqrt[n]{1+\frac{k}{n}}

=

\lim_{n\rightarrow \infty}\sum_{k=1}^{n}\ln\left({1+\frac{k}{n}}\right)^{\frac{1}{n}}

=

\lim_{n\rightarrow \infty}\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{n}\ln\left({1+\frac{k}{n}}\right)

=

\lim_{n\rightarrow \infty}\sum_{k=1}^{n}\frac{2-1}{n}\ln\left({1+k\frac{2-1}{n}}\right)

=

\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{2-1}{n}\sum_{k=1}^{n}\ln\left({1+k\frac{2-1}{n}}\right)

=

\int_{1}^{2}\ln xdx

=

(x\ln x-x)_{1}^{2}

=

2\ln 2-2-(0-1)

=

\ln 4-\ln e

=

\ln\left(\frac{4}{e}\right)

Not: f:[a,b]\rightarrow \mathbb{R} Riemann integrallenebilir bir fonksiyon olmak üzere

\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{b-a}{n}\sum_{k=1}^{n}f\left({a+k\frac{b-a}{n}}\right)=\int_{a}^{b}f(x)dx

(11.6k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi

Teşekkürler 

20,333 soru
21,889 cevap
73,624 yorum
3,097,379 kullanıcı