$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n\ln\sqrt[n]{1+\frac kn}=?$

Question

Lim n sonsuza giderken toplam sembolu k=1 den n e kadar kok n inci dereceden 1+k/n 

Comments

<p> Darboux teoremi ile çözülebilen bir soru
</p>

---

Sorunuz bu mu?

$$\lim\limits_{n\rightarrow \infty}\sum_{k=1}^{n}\sqrt[n]{1+\frac{k}{n}}=?$$

---

<p> Evet soru bu fakat cevaba ulasamiyorum :)
</p>

---

Herhalde eksik bir şey var. Bu haliyle ilginç değil.

Her $k=1,2,\ldots,n$ için $\sqrt[n]{1+\frac kn}\geq1$ olduğundan,

$$\sum_{k=1}^n\sqrt[n]{1+\frac kn}\ \geq n$$  olur ve bunun sonucu olarak:

$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n\sqrt[n]{1+\frac kn}=+\infty$ olur.

---

<p> Hocam haklisiniz toplam semboluyle koklu ifade arasinda ln olacak.Tesekkur ediyorum
</p>

Answer 1

Lim n sonsuza giderken toplam sembolu k=1 den n e kadar kok n inci dereceden 1+k/n 

Answer 2

Şimdi sorunuzu cevaplayabiliriz.

$$\lim_{n\rightarrow \infty}\sum_{k=1}^{n}\ln\sqrt[n]{1+\frac{k}{n}}$$

$$=$$

$$\lim_{n\rightarrow \infty}\sum_{k=1}^{n}\ln\left({1+\frac{k}{n}}\right)^{\frac{1}{n}}$$

$$=$$

$$\lim_{n\rightarrow \infty}\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{n}\ln\left({1+\frac{k}{n}}\right)$$

$$=$$

$$\lim_{n\rightarrow \infty}\sum_{k=1}^{n}\frac{2-1}{n}\ln\left({1+k\frac{2-1}{n}}\right)$$

$$=$$

$$\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{2-1}{n}\sum_{k=1}^{n}\ln\left({1+k\frac{2-1}{n}}\right)$$

$$=$$

$$\int_{1}^{2}\ln xdx$$

$$=$$

$$(x\ln x-x)_{1}^{2}$$

$$=$$

$$2\ln 2-2-(0-1)$$

$$=$$

$$\ln 4-\ln e$$

$$=$$

$$\ln\left(\frac{4}{e}\right)$$

Not: $f:[a,b]\rightarrow \mathbb{R}$ Riemann integrallenebilir bir fonksiyon olmak üzere

$$\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{b-a}{n}\sum_{k=1}^{n}f\left({a+k\frac{b-a}{n}}\right)=\int_{a}^{b}f(x)dx$$

Comments

Teşekkürler