Öncelikle güzel bir soru olduğunu ifade etmek isterim.
Ben aşağıdaki önermeyi kanıtlayacağım;
u>0 ve v>0 olmak üzere,
an+1=u.an+v.an−1 (1)
şeklindeki rekürsif dizinin sıfırdan farklı sonlu limitinin olması için gerek ve yeter koşul u+v=1 olmasıdır.
Kanıt: Gereklilik açıktır;
lim
olsun. (1)'de limite geçersek, a=u.a+v.a olur ki, buradan da u+v=1 bulunur.
Yeterlilik: u>0, v>0 ve u+v=1 olsun. (1)'de u=1-v yazalım:
a_{n+1}=\left( 1-v\right) .a_{n}+v.a_{n-1}, buradan da
a_{n+1}-a_{n}=\left( -v\right) \left( a_{n}-a_{n-1}\right) .
Şimdi a_{n}-a_{n-1}=b_{n} . dersek b_{n+1}=\left( -v\right) b_{n}.
Yani (b_{n}) bir geometrik dizidir.
b_{n+1}=\left( -v\right) ^{n}b_{1};
burada b_{1}=a_{1}-a_{0} dır. Yukarıdaki eşitlikten,
a_{n+1}-a_{n}=\left( -v\right) ^{n}b_{1}
veyahutta,
a_{n}=a_{n+1}-\left( -v\right) ^{n}b_{1}
bulunur. Bu son eşitliği m-defa tekrar edersek,
a_{n}=a_{n+2}-\left( -v\right) ^{n+1}b_{1}-\left( -v\right)^{n}b_{1}=...=a_{n+m}-\left( -v\right) ^{n+m-1}b_{1}-\left( -v\right)^{n+m-2}b_{1}-...-\left( -v\right) ^{n}b_{1}
elde edilir. Buradan da
\left\vert a_{n+m}-a_{n}\right\vert \leq \left\vert b_{1}\right\vert \left(v^{n+m-1}+v^{n+m-2}+...+v^{n}\right) \leq \left\vert b_{1}\right\vert \frac{1}{1-v}v^{n}
bulunur. Yani
\left\vert a_{n+m}-a_{n}\right\vert \leq |b_1|\frac{1}{1-v}v^n. Burada 0<v<1 olduğundan \left\{ a_{n}\right\} _{n\geq 1} dizisinin bir Cauchy dizisi olduğu çıkar. Dolayısıyla sonlu limiti vardır.