Dizilerde limit eğer varsa, biricikliğini ispatlayınız.

1 beğenilme 0 beğenilmeme
302 kez görüntülendi

limitin biricikligini göstermeye calisiyordum ama tam gösteremedim


Teorem.

Bir dizi en fazla bir sayıya yakınsayabilir.Yani bir dizinin en fazla bir limiti olabilir.


Olmayana ergi yaparak $a_i=a_1,a_2,.....,a_n$  yani dizinin n tane limiti oldugunu varsaydım daha sonra bunlara gerek olmadan sadece 2 limit noktası varsayıp çürütmeyi denedim 

$a_1\neq a_2$ olcak şekilde limit noktalarımı seçtim, dizi yakınsıyorsa ve sonsuza gıderken her 2 noktayada aynı anda yakınsayamayacagından dızının tek lımıtı vardır dedım ama tam matematıge dokemedım .

28, Kasım, 2016 Lisans Matematik kategorisinde Erkin B. YORULU (41 puan) tarafından  soruldu

2 Cevaplar

2 beğenilme 0 beğenilmeme

Teorem: 
$s_n$ dizisi hem $s$ hem de $t$ degerlerine yakinsiyorsa $s=t$ olmali.

Ispat:

$\epsilon> 0$ verilsin $s$ ve $t$ degerleri $s_n$ dizisi icin limit degerleri oldugundan  oyle $N_1$ ve $N_2$ pozitif tam sayilari vardir ki $n \geq N_1$ icin $$|s_n-s|<\frac{\epsilon}{2}$$  ve $n \geq N_2$ icin $$|s_n-t|<\frac{\epsilon}{2}$$ olur. 


$N=\max\{N_1,N_2\}$ olarak tanimlayalim. Bu durumda her $n \geq N$ icin  $$|s-t| =|(s-s_n)+(s_n-t)| \le |s-s_n|+|s_n-t| < \frac{\epsilon}{2}+\frac{\epsilon}{2}=\epsilon$$ olur.  Bu esitsizlik verilen herhangi bir $\epsilon$ icin saglandigindan $s=t$ olur. 

Burada da video olarak var. Cogu ilgili kitapta da ispati vardir.

28, Kasım, 2016 Sercan (23,218 puan) tarafından  cevaplandı

Peki neden sadece 2 tane aldık? 3 tane limit varsayımı için bu doğru olur mu?

Limit degerleri kumesinden iki eleman alinca ikisi esit cikiyor, bu sekilde hepsi esit olur.

Guzel soru bu arada. Yorum begenme olsa begenirdim.

3 beğenilme 0 beğenilmeme

Tanım:

$(x_n)_n$  bir dizi ve $a\in\mathbb R$   olsun. Eğer her $\epsilon>0$   için,

$n>N\Rightarrow|x_n-a|<\epsilon$  önermesini sağlayan bir $N\in\mathbb N$ varsa , o zaman $(x_n)_n$  dizisi $a$'ya yakınsar.


$2$ limit var ise ,$a\neq b$  olan 2 limit noktası varsayalım ve senin yapmaya çalıştığın gibi olmayana ergi yapalım.

image

Buradaki gibi $a\neq b$ alalım ve görüldüğü üzre $2\epsilon=b-a=|a-b|$   olur,

Tanım gereği şunları yazarım,

$(x_n)_n$  dizisi $a$'ya yakınsadığında öyle $N_1$ doğal sayısı vardır ki,  her $n>N_1$  için 

$|x_n-a|<\epsilon$  

Ve


$(x_n)_n$  dizisi $b$'ye yakınsadığında öyle $N_2$ doğal sayısı vardır ki,  her $n>N_2$  için 

$|x_n-b|<\epsilon$  

eşitsizlikleri doğrudur.

$n$'yi hem $N_1$'den hem de  $N_2$ 'den büyük seçelim ve hesaplayalım,


$|a-b|=|a-b+x_n-x_n|=|x_n-b+a-x_n|$  olur  ve üçgen eşitsizliğinden dolayı,

http://matkafasi.com/99514/basit-analiz-ispatlari-mutlak-deger

$|a-b|=|a-b+x_n-x_n|=|x_n-b+a-x_n|\le |x_n-a|+|x_n-b|<\epsilon+\epsilon=2\epsilon=|a-b|$

$|a-b|<|a-b|$ olamayacagından olmayan şey çürütülmüştür.Limit biricikmiş  $\Box$


Peki neden sadece 2 tane aldık? 3 tane limit varsayımı için bu doğru olur mu?

28, Kasım, 2016 Anil (7,670 puan) tarafından  cevaplandı
...