$e^x$ fonksiyonu için limit tanımında bulunan fonksiyonlara dair analiz.

0 beğenilme 0 beğenilmeme
135 kez görüntülendi

http://matkafasi.com/106226/%24e%24nin-limit-tanimini-kullanarak-bulmak-limits_-infty-right

Buradaki konunun devamı olarak aşağıdaki bir kaç örneğe bakalım ve daha sonra bir hipotez var, bu hipotez nasıl kanıtlanır?Limitlerde öncelik nedir?(ilgili link:);

$$\forall x\in \mathbb R; \\ \lim\limits_{n\to\infty}\left(1+ \dfrac{x}{n} \right)^n=e^x\tag1$$

$$b,d\in\mathbb R \\  \lim\limits_{n\to\infty}\left(\dfrac{n+b}{n+d} \right)^n=\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\dfrac{b-d}{n+d}\right)^n=\lim\limits_{n\to\infty}\left(\dfrac{1+b/n}{1+d/n} \right)^n=\dfrac{e^b}{e^d}=e^{b-d} \tag2$$

$(2)$ 'yi biraz daha kurcalarsak ve $e$ 'nin tanımına uygun hale getirirsek,


$$\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\dfrac{\overbrace{n\dfrac{b-d}{n+d}}^{x(n)}}{n}\right)^n=e^{b-d}$$

Buradan şu hipotez çıkıyor ;

$$\color{green}{\boxed{\boxed{\color{black}{\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\dfrac{f(n)}{g(n)}\right)^{h(n)}=e^{^{\left(\lim\limits_{n\to\infty}\frac{f(n)h(n)}{g(n)}\right)}}}}}}$$

Bunu görüp ispatlaması belki çok kolay ama göremedim, denemem şöyle:

$*:$ Tüm terimlere limit'i ekledim ve bu sayede hepsini oynayabilceğim bir duruma getirmek istedim ve terse doğru gidip başdaki ile aynısı olduğunu göstermek istedim;

$$\left(\lim\limits_{n\to\infty}1+\dfrac{\lim\limits_{n\to\infty}f(n)}{\lim\limits_{n\to\infty}g(n)}\right)^{\lim\limits_{n\to\infty}h(n)}\stackrel{1}{=}\left(\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\dfrac{f(n)}{g(n)}\right)\right)^{\lim\limits_{n\to\infty}h(n)}\stackrel2=\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\dfrac{f(n)}{g(n)}\right)^{\lim\limits_{n\to\infty}h(n)}\stackrel3=\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\dfrac{f(n)}{g(n)}\right)^{h(n)}$$

$1:$ $f$ ve $g$'nin ayrı limitleri varsa bunu toplayabilirim ve 2. eşitliği yazabilirim.(limit kuralları)
 Burada üst tam sayı olsaydı geçiş garanti olacaktı ama limitin ne oldugunu bilmeden geçiş oluyor mu emın olamadım ama gene de geçtım.

$2:$ Burada üst tam sayı olsaydı geçiş garanti olacaktı ama limitin ne oldugunu bilmeden geçiş oluyor mu emın olamadım ama gene de geçtım.(https://tr.wikipedia.org/wiki/Limit_hesaplama_kurallar%C4%B1)

$3:$ Limit ortak olabilir, sadece notasyondan ibaret.


Bunlar gösteriyorki reel sayılarda yapabildiğim  $(1)$ eşitliğini hipoteze genişletebilirim.


Soru:İspat deneme şeklimden emin ve hiç tatmin olamadım, nasıl buluruz ve bu hipotez dogru mu dogruysa ıspatı nedır merak edıyorum.

27, Şubat, 2017 Lisans Matematik kategorisinde Anil (7,732 puan) tarafından  soruldu

f g h nin cinsi de muhim bunlar polinom olmak zorunda mi yoksa baska fonksiyonlarda da bu durum olur mu

...