Limit için n sonsuza giderkenki sıralama mantığı

2 beğenilme 0 beğenilmeme
16,424 kez görüntülendi

1. $n^{n}> n!$

2. $ n!>a^{n}$

3. $a^{n}>n^a$

dolayısıyla;

$$a\in\mathbb R^+\quad için\quad\boxed{\boxed{n^{n}> n!>a^{n}>n^a}}\quad olur$$


bu sıralamayı nasıl ispatlayabiliriz teşekkürler

6, Mart, 2016 Orta Öğretim Matematik kategorisinde Anil (7,738 puan) tarafından  soruldu
3, Ocak, 2017 Anil tarafından düzenlendi

Her birinin türevlerini alarak, artma hızlarını inceleyebilirsiniz.

hocam kaç noktada turevlerıne bakmamız lazımkı sıralayalım egimlerini karşılaştıralım

Ornegin   (aciklamalri pek yok ama anlasilir)
$3^n/2^n=(3/2)^n\to \infty$
ya da $n!\leq n^{n-1}$ oldugundan $\frac{n^n}{n!}>n\to \infty$

1 cevap

1 beğenilme 0 beğenilmeme

1. eşitsizlik bariz;

$n^n=\overbrace{n.n.n.n....n}^{n\;terim}>n!=\overbrace{n.(n-1).(n-2).....1}^{n\; terim}$


2. eşitsizlik;

$n!>a^n\quad a\in R^+$ olmak üzre;

Matematiksel tümevarım yaparsak,


$n!>a^n$  dogru ise;


$(n+1)n!>aa^{n}$  da doğrudur çünki;

$\dfrac{n+1}{a}n!>a^n$  için 


$\dfrac{n+1}{a}$  hep $1$'den büyüktür; $(n>>a)$

3.eşitsizlik;


İspat için şu fonksiyona bakıp maksimalitesini inceleyelim;

$f(x)=\dfrac{lnx}{x}\quad\to\quad f'(x)=\dfrac{1-lnx}{x^2}$

$x=e$ iken maksimum

$x<e$ iken $f'$ pozitiv, $x>e$ iken $f'$ negativ dolayısıyla fonksiyon grafiği $>e$ için azalan.

O zaman $n>a$ için      $\dfrac{lna}{a}>\dfrac{lnn}{n}$  olur dolayısıyla

$lna^n>lnn^a\quad\to\quad a^n>n^a$ ispatlanır. $\Box$

3, Ocak, 2017 Anil (7,738 puan) tarafından  cevaplandı
...