Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
357 kez görüntülendi
$a_{1}=1,$ $a_{n+1}= \sqrt{3a_{n}}$ dizisi verildiği şekilde yinelemeli bir dizidir. O halde, eğer varsa, limiti nedir? Yakınsak mıdır, ıraksak mıdır? Cevabı yarın vereceğim.
Lisans Matematik kategorisinde (129 puan) tarafından  | 357 kez görüntülendi
Neler denediniz acaba? Yakınsaklığın tanımına göre, keyfi $\varepsilon>0$ için öyle bir $N$ doğalsayısı vardır ki $n>N$ için $|a_n-a|<\varepsilon$ olur. Yani, dizinin terimleri, limit diye adlandırdığımız $a$ sayısına yeterince yakın oluyorlar. $n\to \infty$ iken $a=\sqrt{3a}$ gibi birşey olacak değil mi?
Sorunun zor kısmı dizinin yakınsak olduğunu göstermek.
Haklısınız hocam, zor tarafı orası. Ben zaten "cevabı yarın vereceğim" kısmını kaçırmışım.

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme
Doğan hocam haklı, bilindiği gibi yakınsaklığı göstermek bir hayli zorken, dizinin limitini bulabilmek daha da zor. Çözümüm şu şekilde:

Burada şunu gözlemlemeliyiz: $a_{1}=1$ ve $a_{2}=\sqrt{3}$ Yani birinci terim ikinci terimden küçük. Monoton bir dizi olsun diyelim. Ya artacak ya da azalacak. O halde kanıta başlayabilir.

$a_{n}$  monoton bir dizi olsun o halde $a_{n+1}-a_{n}$'in değerine göre yakınsaklık ya da{ıraksaklıklığı belirleyebiliriz. Bunun en bariz yolu matematiksel indüksiyondur(tümevarımla kanıt ya da Peano Belitlerinden 5.si). Başta gösterildiği gibi $a_{2}>a_{1}$ idi. Şimdi, $a_{k+1}>a_{k}$ olduğunu kabul edelim ve daha sonra, $a_{k+2}>a_{k+1}$ için kanıtlayalım. Buradan sonra da eğer varsa limitini bulmak gerekir. Limit, 3 çıkar bunu daha sonra göstereceğim.

$a_{k+2}>a_{k+1}$ ise $\sqrt{3a_{k+1}}>\sqrt{3a_{k}}$ olduğu açıktır. Biraz cebirden sonra, $a_{k+1}>a_{k}$ ifadesine tekrar ulaşılır ve artan bir dizi olduğu anlaşılır. Bu halde varsayalım ki, $a_{n}\leq{M}$ ve $\lim _{n\rightarrow \infty }a_{n}=l=M$. Eğer $\lim _{n\rightarrow \infty }a_{n}=l=M$ ise $\lim _{n\rightarrow \infty }a_{n+1}=l$'dir.(Neden?). Aynı halini yazalım, o halde $\sqrt{\lim _{n\rightarrow \infty }a_{n+1}}=l=M$ olacaktır ve dizinin tanımından $\sqrt{\lim _{n\rightarrow \infty }3a_{n}}=l$ olur içerisini de yukarıda gösterdiğmiz şekilde yazarsak. $\sqrt{3l}=l$ buradan görülür ki $3l=l^2$ ve karşımıza iki kök çıkar, bunlar $l=0$ ve $l=3$dür. Limitimiz 3'tür(Neden?).

Şimdi bu limitin 3 olduğunu tümevarım ile kanıtlayalım. $a_{1}<3$ olduğu açıktır. Varsayalım ki $a_{n}<3$ olsun o halde $a_{n+1}<3$ olduğunu kanıtlamalıyız. Bunu da şöyle yapalım:

Elimizdeki $a_{n}<3$ ifadesini $3$ ile çarpıp kökünü alalım. $\sqrt{3a_{n}}<3$ ifadesini elde ederiz. Bu da zaten $a_{n+1}<3$'dür. Dizinin üç ile sınırlı olduğunu gösterdik ve bu sınırın 3 oldğunu da gösterdik. Kanıtımız bitmiştir.
(129 puan) tarafından 
tarafından düzenlendi
1) "$a_n$ monoton bir dizi olsun." diyerek başladın. Bu varsayımı yapmaya a) yetkin var mı? b) gerek var mı?

2) Son paragrafa "$a_{k+2} > a_{k+1}$ ise" diyerek başladın. Bu göstermek istediğin, sonunda ulaşmak istediğin şey. Bunu kabul ederek başlayamazsın.

Bu tümevarım değil de, "indirgeme" olmuş. (böyle bir ispat tekniği var ama bazı doğal sayıların var olmadığını göstermek için)

$a_{k+2}>a_{k+1}$ ise $a_{k+1}>a_k$ 

olduğu gösterilmiş. Oysa

$a_{k+1}>a_k$  ise $a_{k+2}>a_{k+1}$ 

olduğu gösterilmeliydi. Ayrıca sınırlı olduğu da gösterilmeli.

Bir de şunu durumu düşünsek iyi olur: $a_1=3$ olsaydı dizi yakınsak olur muydu?

Artan ya da azalan dizilere monoton diyoruz. O halde varsayım yapıyorum yani eğer dediğim şeyi kanıtlayamasaydım yazmazdım. Ve evet haklısınız, matematiksel indüksiyon kısmı da düzeltilmeli. Fakat limitin 3 olduğu sezgisel olarak açık.
Sınırlı olduğunu da göstermelisiniz.
$a_{1}=3$ için dizi bir hayli ilginç davranıyor sanırım hocam.
19,507 soru
21,235 cevap
71,438 yorum
30,330 kullanıcı