Question

$ x_0 \geq \sqrt{a} \ \ \ $ ve $ \ \ x_{n+1}= \dfrac 1 2 \left( x_n + \dfrac a{ x_n} \right)$

ise  $$ \lim\limits_{n\to \infty} x_n =\sqrt{a}$$

olduğunu gösteriniz.

Comments

$x_0=\sqrt a$ ise dizi sabit olup iddia yine doğru olur.\\

$0<x_0<\sqrt a$ ise de aynı sonucun doğru olduğu bu iddiadan elde edilebilir.

Answer 1

$$x_{n+1}^2=\frac{1}{4}\left(x_n^2+2a+\frac{a^2}{x_n^2}\right)=\frac{x_n^2}{4}+\frac{a}{2}+\frac{a^2}{4x_n^2}$$
$$\Rightarrow$$
$$x_{n+1}^2-a=\frac{x_n^2}{4}-\frac{a}{2}+\frac{a^2}{4x_n^2}=\left(\frac{x_n}{2}-\frac{a}{2x_n}\right)^2$$
$$\Rightarrow$$
$$x_{n+1}^2-a\geq 0$$
$$\Rightarrow$$
$$x_{n+1}^2\geq a$$ ve $$x_0> \sqrt{a}$$ olduğundan $$(\forall n\in\mathbb{N})(x_n\geq\sqrt{a})\ldots (1)$$ elde edilir. Yani dizinin bütün terimleri pozitif. (Ayrıca dizinin tüm terimlerinin rasyonel olduğuna dikkat ediniz). Öte yandan
$$x_{n+1}-x_n=\left(\frac{x_n}{2}+\frac{a}{2x_n}\right)-x_n=\frac{a}{2x_n}-\frac{x_n}{2}=\frac{a-x_n^2}{2x_n}\ldots (2)$$
$$(1),(2)\Rightarrow (\forall n\in\mathbb{N})(x_{n+1}-x_n\leq 0)\Rightarrow (\forall n\in\mathbb{N})(x_{n+1}\leq x_n)$$ yani dizi azalandır. Dizi azalan ve alttan sınırlı (neden?) olduğundan monoton yakınsaklık teoremi gereğince dizi yakınsaktır. O halde öyle $l\in\mathbb{R}$ sayısı vardır ki
$$\lim_{n\to\infty}x_n=l$$ olur. Yakınsak dizilerin altdizileri de yakınsak olduğundan $$\lim_{n\to\infty}x_{n+1}=l$$ olur. Dolayısıyla
$$\lim_{n\to\infty}x_{n+1}=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{2}\left(x_n+\frac{a}{x_n}\right)$$
$$\Rightarrow$$
$$l=\frac{1}{2}\left(l+\frac{a}{l}\right)$$
$$\Rightarrow$$
$$l=\mp\sqrt{a}$$ ve dizinin tüm terimleri pozitif olduğundan $$l=-\sqrt{a}$$ olamaz. Dolayısıyla $$l=\sqrt{a}$$ olur.

Comments

$0<x_0<\sqrt a$ ise (Aritmetik-Geometrik Ortalama Eşitsizliğinden)

$x_1=\frac12(x_0+\frac a{x_0})>\sqrt{x_0\cdot\frac a{x_0}}=\sqrt a$ olur. Bu nedenle,

$y_n=x_{n+1}\quad (\forall n\in\mathbb{N})$ olsun.

$y_0=x_1>\sqrt a,\quad y_{n+1}=\frac12(y_n+\frac a{y_n})\quad (\forall n\in\mathbb{N})$ olur.

Yukarıdaki ispattan, $\lim y_n=\sqrt a$ olur.

$(y_n)$ dizisi $(x_n)$ dizisinin bir "kuyruğu" olduğu için $\lim x_n=\lim y_n=\sqrt a$ olur.

---

Murad Hocam elinize sağlık. Gerçi sonucu pek etkilemiyor ama, hem ilk satırdaki son terimin hem de ikinci satırdaki $\frac{a^2}{x_n^2}$ nin yerinde $\frac{a^2}{4x_n^2}$ olmalı. Buna bağlı olarak 2. satırın tam kare olan son ifadesinin $(\frac{x_n}{2}-\frac{a}{2x_n})^2$  şeklinde olması gerek.

---

İşlem tamamdır hocam. Teşekkür ederim.