Processing math: 3%
Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
888 kez görüntülendi
x_0 \geq \sqrt{a} \ \ \ ve \ \ x_{n+1}= \dfrac 1 2 \left( x_n + \dfrac a{ x_n} \right)

ise   \lim\limits_{n\to \infty} x_n =\sqrt{a}

olduğunu gösteriniz.
Lisans Matematik kategorisinde (405 puan) tarafından 
tarafından düzenlendi | 888 kez görüntülendi

x_0=\sqrt a ise dizi sabit olup iddia yine doğru olur.\\

0<x_0<\sqrt a ise de aynı sonucun doğru olduğu bu iddiadan elde edilebilir.

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme
En İyi Cevap
x_{n+1}^2=\frac{1}{4}\left(x_n^2+2a+\frac{a^2}{x_n^2}\right)=\frac{x_n^2}{4}+\frac{a}{2}+\frac{a^2}{4x_n^2}
\Rightarrow
x_{n+1}^2-a=\frac{x_n^2}{4}-\frac{a}{2}+\frac{a^2}{4x_n^2}=\left(\frac{x_n}{2}-\frac{a}{2x_n}\right)^2
\Rightarrow
x_{n+1}^2-a\geq 0
\Rightarrow
x_{n+1}^2\geq a ve x_0> \sqrt{a} olduğundan (\forall n\in\mathbb{N})(x_n\geq\sqrt{a})\ldots (1) elde edilir. Yani dizinin bütün terimleri pozitif. (Ayrıca dizinin tüm terimlerinin rasyonel olduğuna dikkat ediniz). Öte yandan
x_{n+1}-x_n=\left(\frac{x_n}{2}+\frac{a}{2x_n}\right)-x_n=\frac{a}{2x_n}-\frac{x_n}{2}=\frac{a-x_n^2}{2x_n}\ldots (2)
(1),(2)\Rightarrow (\forall n\in\mathbb{N})(x_{n+1}-x_n\leq 0)\Rightarrow (\forall n\in\mathbb{N})(x_{n+1}\leq x_n) yani dizi azalandır. Dizi azalan ve alttan sınırlı (neden?) olduğundan monoton yakınsaklık teoremi gereğince dizi yakınsaktır. O halde öyle l\in\mathbb{R} sayısı vardır ki
\lim_{n\to\infty}x_n=l olur. Yakınsak dizilerin altdizileri de yakınsak olduğundan \lim_{n\to\infty}x_{n+1}=l olur. Dolayısıyla
\lim_{n\to\infty}x_{n+1}=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{2}\left(x_n+\frac{a}{x_n}\right)
\Rightarrow
l=\frac{1}{2}\left(l+\frac{a}{l}\right)
\Rightarrow
l=\mp\sqrt{a} ve dizinin tüm terimleri pozitif olduğundan l=-\sqrt{a} olamaz. Dolayısıyla l=\sqrt{a} olur.
(11.5k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi

0<x_0<\sqrt a ise (Aritmetik-Geometrik Ortalama Eşitsizliğinden)

x_1=\frac12(x_0+\frac a{x_0})>\sqrt{x_0\cdot\frac a{x_0}}=\sqrt a olur. Bu nedenle,

y_n=x_{n+1}\quad (\forall n\in\mathbb{N}) olsun.

y_0=x_1>\sqrt a,\quad y_{n+1}=\frac12(y_n+\frac a{y_n})\quad (\forall n\in\mathbb{N}) olur.

Yukarıdaki ispattan, \lim y_n=\sqrt a olur.

(y_n) dizisi (x_n) dizisinin bir "kuyruğu" olduğu için \lim x_n=\lim y_n=\sqrt a olur.

Murad Hocam elinize sağlık. Gerçi sonucu pek etkilemiyor ama, hem ilk satırdaki son terimin hem de ikinci satırdaki \frac{a^2}{x_n^2} nin yerinde \frac{a^2}{4x_n^2} olmalı. Buna bağlı olarak 2. satırın tam kare olan son ifadesinin (\frac{x_n}{2}-\frac{a}{2x_n})^2  şeklinde olması gerek.
İşlem tamamdır hocam. Teşekkür ederim.
20,295 soru
21,836 cevap
73,535 yorum
2,689,824 kullanıcı