0<x_0<\sqrt a ise (Aritmetik-Geometrik Ortalama Eşitsizliğinden)
x_1=\frac12(x_0+\frac a{x_0})>\sqrt{x_0\cdot\frac a{x_0}}=\sqrt a olur. Bu nedenle,
y_n=x_{n+1}\quad (\forall n\in\mathbb{N}) olsun.
y_0=x_1>\sqrt a,\quad y_{n+1}=\frac12(y_n+\frac a{y_n})\quad (\forall n\in\mathbb{N}) olur.
Yukarıdaki ispattan, \lim y_n=\sqrt a olur.
(y_n) dizisi (x_n) dizisinin bir "kuyruğu" olduğu için \lim x_n=\lim y_n=\sqrt a olur.