Loading [MathJax]/jax/element/mml/optable/GeneralPunctuation.js
Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
889 kez görüntülendi
x0a    ve   xn+1=12(xn+axn)

ise  limnxn=a

olduğunu gösteriniz.
Lisans Matematik kategorisinde (405 puan) tarafından 
tarafından düzenlendi | 889 kez görüntülendi

x0=a ise dizi sabit olup iddia yine doğru olur.\\

0<x0<a ise de aynı sonucun doğru olduğu bu iddiadan elde edilebilir.

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme
En İyi Cevap
x2n+1=14(x2n+2a+a2x2n)=x2n4+a2+a24x2n

x2n+1a=x2n4a2+a24x2n=(xn2a2xn)2

x2n+1a0

x2n+1a ve x0>a olduğundan (nN)(xna)(1) elde edilir. Yani dizinin bütün terimleri pozitif. (Ayrıca dizinin tüm terimlerinin rasyonel olduğuna dikkat ediniz). Öte yandan
xn+1xn=(xn2+a2xn)xn=a2xnxn2=ax2n2xn(2)
(1),(2)(nN)(xn+1xn0)(nN)(xn+1xn) yani dizi azalandır. Dizi azalan ve alttan sınırlı (neden?) olduğundan monoton yakınsaklık teoremi gereğince dizi yakınsaktır. O halde öyle lR sayısı vardır ki
limnxn=l olur. Yakınsak dizilerin altdizileri de yakınsak olduğundan limnxn+1=l olur. Dolayısıyla
limnxn+1=limn12(xn+axn)

l=12(l+al)

l=a ve dizinin tüm terimleri pozitif olduğundan l=a olamaz. Dolayısıyla l=a olur.
(11.5k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi

0<x0<a ise (Aritmetik-Geometrik Ortalama Eşitsizliğinden)

x1=12(x0+ax0)>x0ax0=a olur. Bu nedenle,

yn=xn+1(nN) olsun.

y0=x1>a,yn+1=12(yn+ayn)(nN) olur.

Yukarıdaki ispattan, limyn=a olur.

(yn) dizisi (xn) dizisinin bir "kuyruğu" olduğu için limxn=limyn=a olur.

Murad Hocam elinize sağlık. Gerçi sonucu pek etkilemiyor ama, hem ilk satırdaki son terimin hem de ikinci satırdaki a2x2n nin yerinde a24x2n olmalı. Buna bağlı olarak 2. satırın tam kare olan son ifadesinin (xn2a2xn)2  şeklinde olması gerek.
İşlem tamamdır hocam. Teşekkür ederim.
20,295 soru
21,836 cevap
73,535 yorum
2,689,971 kullanıcı