Soru 1:
(x_n)_n yakınsak ise (|x_n|)_n yakınsak mıdır?
Soru 2:
\lim\limits_{n\to\infty}|x_n|=\left|\lim\limits_{n\to\infty}x_n\right|
Bu eşitlik doğru mudur?
Soru 1 için denemem:
(x_n)_n yakınsak ise |x_n-L|<\epsilon için \quad n\ge N\in\mathbb N olacak bir N buluruz.
(|x_n|)_n yakınsak mıdır?
Yakınsak olması için aşşağıdaki önerme sağlanmalı;
||x_n|-|L||<\epsilon için \quad n\ge N\in\mathbb N olacak bir N bulmalıyız ki (x_n)_n için zaten bulunmuş, şöyle ki;
||x_n|-|L||\le |x_n-L| <\epsilon için \quad n\ge N\in\mathbb N bulunurmuş, \Box
"http://matkafasi.com/99514"
Soru 2 için denemem:
\lim\limits_{n\to\infty}|x_n| için;
||x_n|-|L||<\epsilon için bir n\ge N dogal sayısı bulmalıyız, çünki limiti |L| diye bekliyorum.
-------------------
\left|\lim\limits_{n\to\infty}x_n\right| için;
|x_n-|L||<\epsilon için bir n\ge N dogal sayısı bulmalıyız, çünki limiti |L| diye bekliyorum.
Şu eşitlik doğru olduğundan;
|x_n-|L||<||x_n|-|L||<|x_n-L|
ve |x_n-L|<\epsilon için n\ge N dogal sayısı bulabildigimden;
|x_n-|L||<||x_n|-|L||<|x_n-L|<\epsilon için n\ge N dogal sayısı sağlanıyormuş demekki. \Box