$a_{1}=1,$ $a_{n+1}= \sqrt{3a_{n}}$ Dizisinin Limitini Bulalım.

Question

$a_{1}=1,$ $a_{n+1}= \sqrt{3a_{n}}$ dizisi verildiği şekilde yinelemeli bir dizidir. O halde, eğer varsa, limiti nedir? Yakınsak mıdır, ıraksak mıdır? Cevabı yarın vereceğim.

Comments

Neler denediniz acaba? Yakınsaklığın tanımına göre, keyfi $\varepsilon>0$ için öyle bir $N$ doğalsayısı vardır ki $n>N$ için $|a_n-a|<\varepsilon$ olur. Yani, dizinin terimleri, limit diye adlandırdığımız $a$ sayısına yeterince yakın oluyorlar. $n\to \infty$ iken $a=\sqrt{3a}$ gibi birşey olacak değil mi?

---

Sorunun zor kısmı dizinin yakınsak olduğunu göstermek.

---

Haklısınız hocam, zor tarafı orası. Ben zaten "cevabı yarın vereceğim" kısmını kaçırmışım.

Answer 1

Doğan hocam haklı, bilindiği gibi yakınsaklığı göstermek bir hayli zorken, dizinin limitini bulabilmek daha da zor. Çözümüm şu şekilde:

Burada şunu gözlemlemeliyiz: $a_{1}=1$ ve $a_{2}=\sqrt{3}$ Yani birinci terim ikinci terimden küçük. Monoton bir dizi olsun diyelim. Ya artacak ya da azalacak. O halde kanıta başlayabilir.

$a_{n}$  monoton bir dizi olsun o halde $a_{n+1}-a_{n}$'in değerine göre yakınsaklık ya da{ıraksaklıklığı belirleyebiliriz. Bunun en bariz yolu matematiksel indüksiyondur(tümevarımla kanıt ya da Peano Belitlerinden 5.si). Başta gösterildiği gibi $a_{2}>a_{1}$ idi. Şimdi, $a_{k+1}>a_{k}$ olduğunu kabul edelim ve daha sonra, $a_{k+2}>a_{k+1}$ için kanıtlayalım. Buradan sonra da eğer varsa limitini bulmak gerekir. Limit, 3 çıkar bunu daha sonra göstereceğim.

$a_{k+2}>a_{k+1}$ ise $\sqrt{3a_{k+1}}>\sqrt{3a_{k}}$ olduğu açıktır. Biraz cebirden sonra, $a_{k+1}>a_{k}$ ifadesine tekrar ulaşılır ve artan bir dizi olduğu anlaşılır. Bu halde varsayalım ki, $a_{n}\leq{M}$ ve $\lim _{n\rightarrow \infty }a_{n}=l=M$. Eğer $\lim _{n\rightarrow \infty }a_{n}=l=M$ ise $\lim _{n\rightarrow \infty }a_{n+1}=l$'dir.(Neden?). Aynı halini yazalım, o halde $\sqrt{\lim _{n\rightarrow \infty }a_{n+1}}=l=M$ olacaktır ve dizinin tanımından $\sqrt{\lim _{n\rightarrow \infty }3a_{n}}=l$ olur içerisini de yukarıda gösterdiğmiz şekilde yazarsak. $\sqrt{3l}=l$ buradan görülür ki $3l=l^2$ ve karşımıza iki kök çıkar, bunlar $l=0$ ve $l=3$dür. Limitimiz 3'tür(Neden?).

Şimdi bu limitin 3 olduğunu tümevarım ile kanıtlayalım. $a_{1}<3$ olduğu açıktır. Varsayalım ki $a_{n}<3$ olsun o halde $a_{n+1}<3$ olduğunu kanıtlamalıyız. Bunu da şöyle yapalım:

Elimizdeki $a_{n}<3$ ifadesini $3$ ile çarpıp kökünü alalım. $\sqrt{3a_{n}}<3$ ifadesini elde ederiz. Bu da zaten $a_{n+1}<3$'dür. Dizinin üç ile sınırlı olduğunu gösterdik ve bu sınırın 3 oldğunu da gösterdik. Kanıtımız bitmiştir.

Comments

1) "$a_n$ monoton bir dizi olsun." diyerek başladın. Bu varsayımı yapmaya a) yetkin var mı? b) gerek var mı?

2) Son paragrafa "$a_{k+2} > a_{k+1}$ ise" diyerek başladın. Bu göstermek istediğin, sonunda ulaşmak istediğin şey. Bunu kabul ederek başlayamazsın.

---

Bu tümevarım değil de, "indirgeme" olmuş. (böyle bir ispat tekniği var ama bazı doğal sayıların var olmadığını göstermek için)

$a_{k+2}>a_{k+1}$ ise $a_{k+1}>a_k$ 

olduğu gösterilmiş. Oysa

$a_{k+1}>a_k$  ise $a_{k+2}>a_{k+1}$ 

olduğu gösterilmeliydi. Ayrıca sınırlı olduğu da gösterilmeli.

Bir de şunu durumu düşünsek iyi olur: $a_1=3$ olsaydı dizi yakınsak olur muydu?

---

Artan ya da azalan dizilere monoton diyoruz. O halde varsayım yapıyorum yani eğer dediğim şeyi kanıtlayamasaydım yazmazdım. Ve evet haklısınız, matematiksel indüksiyon kısmı da düzeltilmeli. Fakat limitin 3 olduğu sezgisel olarak açık.

---

Sınırlı olduğunu da göstermelisiniz.

---

$a_{1}=3$ için dizi bir hayli ilginç davranıyor sanırım hocam.