Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
1 beğenilme 0 beğenilmeme
1.4k kez görüntülendi

$TEOREM:$ ($X$,$τ$$)$ $topolojik$ $uzay$ $olmak$ $üzere;$

$1.$ Ø,$X$∊$Ќ$

$2.$($Ǎ$⊂$Ќ$)($Ǎ$ $sonlu$ $küme$)    $\bigcup$ $Ǎ$∊$Ќ$

$3.$ $Ǎ$⊂$Ќ$   ⇒   $\bigcap$ $Ǎ$∊$Ќ$

$koşulları$ $sağlanır.$ $(ispat$ $ediniz.)$

$notlar:$

$1.$ $ \boxed{Ǎ:=\{A|(A\subseteq X)(A∊τ)\}}$

$2.$ $ \boxed{Ќ:=\{A|(A\subseteq X)(\A∊τ)\}}$  

Lisans Matematik kategorisinde (549 puan) tarafından 
tarafından düzenlendi | 1.4k kez görüntülendi

Neler yaptığını ve nerede takıldığını yazarsan yardımcı oluruz.

teoremin ifadesini ve ispatını kontrol ederseniz çok yardımcı olmuş olursunuz hocam

⋃ ve ⋂ 'lerin altında A∊ Ǎ 'lar da var kodunu beceremediğim için yazamadım.

\bigcap_{A\in\mathcal{A}} yazar iki dolar işareti arasına alırsan görünüm $$\bigcap_{A\in\mathcal{A}}$$ şeklinde olacaktır.

$\bigcap_{A\in\mathcal{A}}$  aa oldu :) tamam hocam artık bunu da anldım. bunun dışında başka eksiklik var mı peki?

2 Cevaplar

0 beğenilme 0 beğenilmeme
En İyi Cevap

Bir topolojik uzaydaki kapalı kümelerin oluşturduğu aileyi $\mathcal{K}$ ile gösterelim.

1) $\setminus X=\emptyset\in\tau\Rightarrow X\in\mathcal{K}, \mbox{ } \setminus \emptyset=X\in\tau\Rightarrow \emptyset \in\mathcal{K}$

2) $A,B\in\mathcal{K}$ olsun.

$$A,B\in\mathcal{K}$$$$\Rightarrow$$$$\setminus A,\setminus B\in\tau$$$$\Rightarrow$$$$(\setminus A)\cap (\setminus B)\in\tau$$$$\Rightarrow$$$$\setminus (A\cup B)\in\tau$$$$\Rightarrow$$$$A\cup B\in\mathcal{K}.$$

3) $\mathcal{A}\subseteq\mathcal{K}$ olsun.

$$A\in\mathcal{A}\subseteq\mathcal{K}$$$$\Rightarrow$$

$$\left\{\setminus A|A\in\mathcal{A}\right\}\subseteq \tau$$

$$\Rightarrow$$$$\bigcup\{\setminus A|A\in\mathcal{A}\}\in\tau$$$$\Rightarrow$$$$\setminus \left(\bigcap \{A|A\in\mathcal{A}\}\right)\in\tau$$$$\Rightarrow$$$$\setminus\left(\bigcap\mathcal{A}\right)\in\tau$$$$\Rightarrow$$$$\left(\bigcap\mathcal{A}\right)\in\mathcal{K}.$$


(11.4k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi

benim 2. ispat için yaptığım gösterim sizin ifadenizin daha genel hali mi yoksa tamamen yanlış bir ifade mi oldu hocam?

Sen sonlu sayıda kapalı kümenin birleşimini almışsın. Ben ise iki tane kapalı küme alarak yapmışım. Sonlu ya da iki tane alman fark etmez. 

O zaman ispatımda bu haliyle bir hata yoksa hatasız yaptığım ilk ispatım olacak :)

Yazımını biraz düzenlediğinde işlem tamamdır :-)

Bir dahaki ispatımı daha düzenli yaparım artık. Yardımlarınız için teşekkürler hocam.

Hem topoloji hem de latex öğreniyorsun. Ne güzel.

0 beğenilme 0 beğenilmeme

$(X$,$τ)$ $topolojik$ $uzay$ $o.ü.$

$1.$ \$X$ = $Ø$ ∊ τ    ⇒   $X$ ∊ $Ќ$       $...(i)$

    \ $Ø$ = $X$ ∊ τ    ⇒ $Ø$ ∊ $Ќ$          $...(ii)$

$(i)$ $ve$ $(ii)'den$  $Ø,$$X$∊$Ќ$ 

$2.$ $Ǎ$⊂$Ќ$ ⇒ (A∊$Ǎ$)(\A∊τ)      $...(*)$

                        $Ǎ$ $sonlu$      $...(**)$ 

$(*)$ $ve$ $(**)'dan$    ⇒      $\bigcap$ \A∊τ

                          ⇒  \($\bigcap$\A)∊$Ќ$ 

                          ⇒      $\bigcup$A ∊ $Ќ$ .

$3.$ $Ǎ$$Ќ$     (A$Ǎ$)(\Aτ

⇒      $\bigcup$\τ

⇒  \($\bigcup$\A)$Ќ$ 

        $\bigcap$A$Ќ$ . 

(549 puan) tarafından 
tarafından düzenlendi
20,217 soru
21,750 cevap
73,348 yorum
1,973,683 kullanıcı