(X,τ) topolojik uzayında X'deki kapalı kümelerin oluşturduğu aile, Ø ve X'i içerir. Ayrıca bu ailenin sonlu birleşimi ve keyfi arakesiti de bu aileye aittir.

Question

$TEOREM:$ ($X$,$τ$$)$ $topolojik$ $uzay$ $olmak$ $üzere;$

$1.$ Ø,$X$∊$Ќ$

$2.$($Ǎ$⊂$Ќ$)($Ǎ$ $sonlu$ $küme$)  ⇒  $\bigcup$ $Ǎ$∊$Ќ$

$3.$ $Ǎ$⊂$Ќ$   ⇒   $\bigcap$ $Ǎ$∊$Ќ$

$koşulları$ $sağlanır.$ $(ispat$ $ediniz.)$

$notlar:$

$1.$ $ \boxed{Ǎ:=\{A|(A\subseteq X)(A∊τ)\}}$

$2.$ $ \boxed{Ќ:=\{A|(A\subseteq X)(\A∊τ)\}}$  

Comments

Neler yaptığını ve nerede takıldığını yazarsan yardımcı oluruz.

---

teoremin ifadesini ve ispatını kontrol ederseniz çok yardımcı olmuş olursunuz hocam

---

⋃ ve ⋂ 'lerin altında A∊ Ǎ 'lar da var kodunu beceremediğim için yazamadım.

---

\bigcap_{A\in\mathcal{A}} yazar iki dolar işareti arasına alırsan görünüm $$\bigcap_{A\in\mathcal{A}}$$ şeklinde olacaktır.

---

$\bigcap_{A\in\mathcal{A}}$  aa oldu :) tamam hocam artık bunu da anldım. bunun dışında başka eksiklik var mı peki?

Answer 1

Bir topolojik uzaydaki kapalı kümelerin oluşturduğu aileyi $\mathcal{K}$ ile gösterelim.

1) $\setminus X=\emptyset\in\tau\Rightarrow X\in\mathcal{K}, \mbox{ } \setminus \emptyset=X\in\tau\Rightarrow \emptyset \in\mathcal{K}$

2) $A,B\in\mathcal{K}$ olsun.

$$A,B\in\mathcal{K}$$$$\Rightarrow$$$$\setminus A,\setminus B\in\tau$$$$\Rightarrow$$$$(\setminus A)\cap (\setminus B)\in\tau$$$$\Rightarrow$$$$\setminus (A\cup B)\in\tau$$$$\Rightarrow$$$$A\cup B\in\mathcal{K}.$$

3) $\mathcal{A}\subseteq\mathcal{K}$ olsun.

$$A\in\mathcal{A}\subseteq\mathcal{K}$$$$\Rightarrow$$

$$\left\{\setminus A|A\in\mathcal{A}\right\}\subseteq \tau$$

$$\Rightarrow$$$$\bigcup\{\setminus A|A\in\mathcal{A}\}\in\tau$$$$\Rightarrow$$$$\setminus \left(\bigcap \{A|A\in\mathcal{A}\}\right)\in\tau$$$$\Rightarrow$$$$\setminus\left(\bigcap\mathcal{A}\right)\in\tau$$$$\Rightarrow$$$$\left(\bigcap\mathcal{A}\right)\in\mathcal{K}.$$

Comments

benim 2. ispat için yaptığım gösterim sizin ifadenizin daha genel hali mi yoksa tamamen yanlış bir ifade mi oldu hocam?

---

Sen sonlu sayıda kapalı kümenin birleşimini almışsın. Ben ise iki tane kapalı küme alarak yapmışım. Sonlu ya da iki tane alman fark etmez. 

---

O zaman ispatımda bu haliyle bir hata yoksa hatasız yaptığım ilk ispatım olacak :)

---

Yazımını biraz düzenlediğinde işlem tamamdır :-)

---

Bir dahaki ispatımı daha düzenli yaparım artık. Yardımlarınız için teşekkürler hocam.

---

Hem topoloji hem de latex öğreniyorsun. Ne güzel.

Answer 2

$(X$,$τ)$ $topolojik$ $uzay$ $o.ü.$

$1.$ \$X$ = $Ø$ ∊ τ    ⇒   $X$ ∊ $Ќ$       $...(i)$

    \ $Ø$ = $X$ ∊ τ    ⇒ $Ø$ ∊ $Ќ$          $...(ii)$

$(i)$ $ve$ $(ii)'den$  $Ø,$$X$∊$Ќ$ 

$2.$ $Ǎ$⊂$Ќ$ ⇒ (ⱯA∊$Ǎ$)(\A∊τ)      $...(*)$

                        $Ǎ$ $sonlu$      $...(**)$ 

$(*)$ $ve$ $(**)'dan$    ⇒      $\bigcap$ \A∊τ

                          ⇒  \($\bigcap$\A)∊$Ќ$ 

                          ⇒      $\bigcup$A ∊ $Ќ$ .

$3.$ $Ǎ$⊂$Ќ$   ⇒  (ⱯA∊$Ǎ$)(\A∊τ) 

⇒      $\bigcup$\A ∊τ

⇒  \($\bigcup$\A)∊$Ќ$ 

⇒        $\bigcap$A ∊$Ќ$ .