Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
1.3k kez görüntülendi

"Metrik uzayda bir  altkümenin açık olması için gerek ve yeter şart açık yuvarların birleşimi olarak yazılabilmesidir." şeklinde açık kümeleri tanımlarsak bu kümelerin kümesinin bir topoloji oluşturduğunu gösteriniz?

Lisans Matematik kategorisinde (767 puan) tarafından 
tarafından yeniden gösterildi | 1.3k kez görüntülendi

Acik yuvar ne emin olmamakla beraber, eger bu "Ball" denilen $B(x; \epsilon)$ ise bunlar bir baz olusturur. Bu da ispati verir.

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme
En İyi Cevap

Bu şekli ile gösterilmesi istenen şey bir önerme değil, metrik topolojinin "tanımı".

Şunun ispatı isteniyor olabilir:

Bir metrik uzayda, açık yuvarlar (o uzayda) bir topoloji için bir bazdır. 

Bu da iki koşulun sağlandığını göstererek yapılır, 

1. bu yuvarların birleşiminin tüm uzaya eşit olması.

2. Bu yuvarların herhangi ikisinin arakesitinde bir nokta olduğunda, o noktayı içeren ve arakesit içinde kalan bu yuvarlardan birinin var olması (eşdeğer olarak bu yuvarların kesişiminin, bu yuvarların birleşimi olarak yazılabilmesi)

(6.2k puan) tarafından 
tarafından seçilmiş

Haklısınız hocam, soruyu yanlış ifade etmişim.Düzelttim.

O zaman, bu ailenin, topoloji olmanın üç koşulunu sağladığını göstermek gerekir.

Bu açık yuvarlar ailesinin ürettiği topoloji, soruda tanımlanan kümeler ailesidir.

Bir metrik uzaydaki açık yuvarların (o uzayda) bir topoloji için bir baz oluşturduğunu gösteriniz.
20,220 soru
21,752 cevap
73,355 yorum
1,994,282 kullanıcı