Teorem: $(X,d)$ metrik uzay olmak üzere
$$\mathcal{B}=\{B(a,\epsilon)|a\in X, \epsilon >0\}$$
ailesi, $X$ kümesi üzerindeki bir topoloji için bazdır.
İspat: $\mathcal{B}$ ailesinin $X$ kümesi üzerindeki bir topolojiye baz olduğunu göstermek için
$$b_1) \,\,\ \cup \mathcal{B}=X$$
ve
$$b_2) \,\,\ A,B\in \mathcal{B}\Rightarrow (\exists \mathcal{A}\subset\mathcal{B})(A\cap B=\cup \mathcal{A})$$
önermelerinin doğru olduğunu göstermeliyiz.
$b_1)$
$$(a\in X)(\epsilon >0)\Rightarrow \{a\}\subset B(a,\epsilon)\subset X$$
$$\Rightarrow$$
$$ X=\cup_{a\in X} \{a\}\subset \cup \mathcal{B}=\cup_{(a\in X)(\epsilon>0)}B(a,\epsilon) \subset X$$
$$\Rightarrow$$
$$X=\cup \mathcal{B}.$$
$b_2) \,\,\ A,B\in \mathcal{B}$ olsun.
$$A,B\in \mathcal{B}$$
$$\Rightarrow$$
$$(\exists a,b\in X)(\exists\epsilon_1,\epsilon_2>0)(A=B(a,\epsilon_1))(B=B(b,\epsilon_2))$$
$$\Rightarrow$$
$$(\exists a,b\in X)(\exists\epsilon_1,\epsilon_2>0)(A\cap B=B(a,\epsilon_1)\cap B(b,\epsilon_2))$$
I. durum: $A\cap B=B(a,\epsilon_1)\cap B(b,\epsilon_2)=\emptyset$ olsun.
$$A\cap B=B(a,\epsilon_1)\cap B(b,\epsilon_2)=\emptyset\Rightarrow (\mathcal{A}:=\emptyset\subset\mathcal{B})(A\cap B=\cup \mathcal{A})$$
II. durum: $A\cap B=B(a,\epsilon_1)\cap B(b,\epsilon_2)\neq \emptyset$ olsun.
$$A\cap B=B(a,\epsilon_1)\cap B(b,\epsilon_2)\neq \emptyset$$
$$\Rightarrow$$
$$(\exists c\in X)(c\in B(a,\epsilon_1)\cap B(b,\epsilon_2) )$$
$$\Rightarrow$$
$$(c\in B(a,\epsilon_1))(c\in B(b,\epsilon_2) )$$
$$\Rightarrow$$
$$(d(a,c)<\epsilon_1)(d(b,c)<\epsilon_2)$$
$$\Rightarrow$$
$$(\epsilon_1-d(a,c)>0)(\epsilon_2-d(b,c)>0)$$
$$\Rightarrow$$
$$(\epsilon_c :=\min \{\epsilon_1-d(a,c),\epsilon_2-d(b,c)\})(B(c,\epsilon_c)\subset B(a,\epsilon_1)\cap B(b,\epsilon_2))$$
$$\Rightarrow$$
$$(\mathcal{A}:=\{B(c,\epsilon_c)|c\in B(a,\epsilon_1)\cap B(b,\epsilon_2)\Rightarrow (\exists\epsilon_c>0)(B(c,\epsilon_c)\subseteq B(a,\epsilon_1)\cap B(b,\epsilon_2)) \}\subset \mathcal{B})(A\cap B=B(a,\epsilon_1)\cap B(b,\epsilon_2)=\cup\mathcal{A}).$$