Tanım (Süreklilik): $A\subseteq\mathbb{R}$ ve $f:A\to \mathbb{R}$ fonksiyon olmak üzere
$$f, \,\ (A\text{'da}) \text{ sürekli}$$$$:\Leftrightarrow$$
$$(\forall a\in A)(\forall\epsilon>0)(\exists \delta>0)(\forall x\in A)(|x-a|<\delta\Rightarrow |f(x)-f(a)|<\epsilon)$$
Buradan şunu anlıyoruz. Demek ki bir $f:A\to\mathbb{R}$ fonksiyonunun sürekli olması
$$(\forall a\in A)(\forall\epsilon>0)(\exists \delta>0)(\forall x\in A)(|x-a|<\delta\Rightarrow |f(x)-f(a)|<\epsilon)$$ önermesinin yani bununla aynı anlama gelen
$$[a\in A\Rightarrow (\forall\epsilon>0)(\exists \delta>0)(\forall x\in A)(|x-a|<\delta\Rightarrow |f(x)-f(a)|<\epsilon)]$$ önermesinin doğru olması anlamına geliyormuş. Dolayısıyla $$f:\emptyset\to\mathbb{R}$$ fonksiyonunu ele alırsak bu fonksiyonun sürekli olması için
$$[a\in \emptyset\Rightarrow (\forall\epsilon>0)(\exists \delta>0)(\forall x\in A)(|x-a|<\delta\Rightarrow |f(x)-f(a)|<\epsilon)]$$ önermesinin doğru olması gerekir.
$$[\underset{0}{\underbrace{a\in \emptyset}}\Rightarrow \underset{p}{\underbrace{ (\forall\epsilon>0)(\exists \delta>0)(\forall x\in A)(|x-a|<\delta\Rightarrow |f(x)-f(a)|<\epsilon)}}]$$
$$\equiv$$
$$0\Rightarrow p$$
$$\equiv$$
$$1$$
olduğundan önerme doğru yani boş fonksiyon sürekli.