Question

Boş fonksiyon sürekli midir?

Answer 1

Tanım (Süreklilik): $A\subseteq\mathbb{R}$ ve $f:A\to \mathbb{R}$ fonksiyon olmak üzere

$$f, \,\ (A\text{'da}) \text{ sürekli}$$ $$:\Leftrightarrow$$

$$(\forall a\in A)(\forall\epsilon>0)(\exists \delta>0)(\forall x\in A)(|x-a|<\delta\Rightarrow |f(x)-f(a)|<\epsilon)$$

Buradan şunu anlıyoruz. Demek ki bir $f:A\to\mathbb{R}$ fonksiyonunun sürekli olması

$$(\forall a\in A)(\forall\epsilon>0)(\exists \delta>0)(\forall x\in A)(|x-a|<\delta\Rightarrow |f(x)-f(a)|<\epsilon)$$ önermesinin yani bununla aynı anlama gelen 

$$[a\in A\Rightarrow (\forall\epsilon>0)(\exists \delta>0)(\forall x\in A)(|x-a|<\delta\Rightarrow |f(x)-f(a)|<\epsilon)]$$ önermesinin doğru olması anlamına geliyormuş. Dolayısıyla $$f:\emptyset\to\mathbb{R}$$ fonksiyonunu ele alırsak bu fonksiyonun sürekli olması için 

$$[a\in \emptyset\Rightarrow (\forall\epsilon>0)(\exists \delta>0)(\forall x\in A)(|x-a|<\delta\Rightarrow |f(x)-f(a)|<\epsilon)]$$ önermesinin doğru olması gerekir.

$$[\underset{0}{\underbrace{a\in \emptyset}}\Rightarrow \underset{p}{\underbrace{ (\forall\epsilon>0)(\exists \delta>0)(\forall x\in A)(|x-a|<\delta\Rightarrow |f(x)-f(a)|<\epsilon)}}]$$

$$\equiv$$

$$0\Rightarrow p$$

$$\equiv$$

$$1$$

olduğundan önerme doğru yani boş fonksiyon sürekli.

Answer 2

Evet. Çünkü eğer sürekli olmasaydı, süreksizlik yaratan en az bir $f(x)$ değeri olurdu. Ama yok. Demek ki sürekli.