Kanıt soruları 2.

Question

Eğer   $\lim_ {x\to\infty}\frac {f(x)}{g(x)}=\infty$ ise $f$ fonksiyonu $g$ 'den daha hızlı buyuyor denir.

Örneğin ; exp fonksiyonu her polinom fonksiyonundan daha hızlı büyür. $g_1,g_2, \large. . .$ sürekli fonksiiyonlar olsun .

Herbir $g_i$ 'den daha hızlı büyüyen bir sürekli fonksiyon $f$ bulundugunu kanıtlayınız ?

Comments

Soruyu yanlis anlamisim, cevabi yoruma ceviriyorum:

$g_{i+1}(x)=xg_i(x)$ olsun. Surekli fonksiyonlarin carpimi surekli olacagindan $g_i$ surekli ise $x$ de surekli oldugundan $g_{i+1}$ de surekli olur. 

Bu durumda $$\lim\limits_{x\to \infty}\frac{g_{i+1}(x)}{g_i(x)}=\lim\limits_{x\to \infty}x=\infty$$ olur. 

Not: Her zaman ayni secmek zorunda degiliz. $x$ yerine herhangi limiti sonsuz olan bir surekli fonksiyon dizisi secip bunlarla da carpabiliriz.

---

Basliklar soru ile yakindan ilgili olursa okuyuculara daha iyi ulasabilir. 

---

Soru bunu sormuyor bence. Elinde bir fonksiyon dizisi var. Bu dizinin her elemanından daha hızlı büyüyen bir $f$ istiyor.

---

Evet haklisin. Yanlis anlamisim. Yoruma cevireyim bunu, yine kalsin.

---

Hocam başlıkları dikkate alıcam.

---

Daha guzel yolu var mi bilmiyorum ama $e^{g_i}$ fonksiyonlarini $[i,i+1]$ uzerinde tanimlayip daha sonra surekli kilacak sekilde (sabit sayilarla carpip) ucuca ekledigimizde surekli bir fonksiyon elde ederiz ve bu fonksiyon hepsinden hizli buyur $e^x/x\to \infty$ fikri ile.