İntegral Hesaplama. 2

Question

$g(x)=\int_{a}^{\int_{a}^{\int_{a}^{x}\frac1{1+sin^2t}dt} \frac1{1+sin^2t}dt} \frac1{1+sin^2t }dt$

$g'(x) $  $nedir ?$

Yardımcı olurmusunuz.

Comments

$g(x)$ tanımında (integralin üst sınırında) fazladan bir integral sembolü var galiba. (ya da o integralin içinde olması gerekenler eksik).

---

Tamamiyle haklısın ilk integralin üstsınırındakı ıntegralde $ \int_{a}^{ \circ} \frac1{1+sin^2tdt}$ $(\circ = \int_{a}^{x} \frac1{1+sin^2t}dt) $ olucak yanlış yazmısım . Tesekkurler şimdi düzelttim.

---

$f(x)=\int_a^x\frac{1}{1+\sin^2}dt$ dersek fonksiyon $f\circ f \circ f$ fonksiyonu olur. Turevini alirken Hesabin temel teoremini kullanacagiz.

Answer 1

$g(x)=\int_{a}^{\int_{a}^{\int_{a}^{x}\frac1{1+sin^2t}dt} \frac1{1+sin^2t}dt} \frac1{1+sin^2t }dt$

Sercan hocanın verdiği bilgi ile ;

$F(x)= \int_{a}^{x}\frac1{1+sin^2t}dt$

$g(x)=F\circ F\circ F $ şeklinde bileşke fonksiyon olarak yazabiliriz.

Bileşke fonksiyonun türevinden ;

$g(x)=F(F(F(x))) $

$g'(x)=F'(F(F(x))).F'(F(x)).F'(x)$ yazılır.

$F'(F(F(x)))=\large \frac1{1+sin^2(\int_{a}^{\int_{a}^{x} \frac1{1+sin^2t}dt}\frac1{1+sin^2t}dt)}$

$F'(F(x))=\large \frac1{1+sin^2(\int_{a}^{x}\frac1{1+sin^2t}dt)}$

$F'(x)=\large \frac1{1+sin^2x}$

$g'(x)=\frac1{1+sin^2(\int_{a}^{\int_{a}^{x} \frac1{1+sin^2t}dt}\frac1{1+sin^2t}dt)}. \frac1{1+sin^2(\int_{a}^{x}\frac1{1+sin^2t}dt)}.\frac1{1+sin^2x}$

Comments

Ek olarak $\int \frac{1}{1+\sin^2t}dt$ integralini hesaplayabiliriz. Bu da direkt fonksiyon olarak verir. (wolfram-link).