İntegral gösterimi.

Question

$g$   $[a,b]$üzerinde integrallenebilir ve negatif olmayan bir fonksiyon , ve $f$   $[a,b]$ üzerinde sürekli bir fonksiyon  olsun. Uygun bir $\Im$  $\epsilon$  $[a,b]$ için

$\large\int_{a}^{b}f(x)g(x)dx =f(\Im)\int_{a}^{b}g(x)dx$

olduğunu $\small kanıtlayınız$ 

Comments

İntegrallerdeki ortalama deger teoremi de denilebilinir.

Answer 1

$g(x)=0$ olduğunda ifade zaten  $\displaystyle\int_{[a,b]} 0=f(c).\int_{[a,b]} 0$ olarak sağlanıyor dolayısıyla $g>0$ durumunu inceliyelim.

$f$ sürekli olduğundan sınırlıdır ve maximum(M)-minimum(m) değerlerini $[a,b]$ de alır.

$$\Rightarrow\quad mg(x)<f(x)g(x)<Mg(x)$$

$$g_{[a,b]}>0\quad \Rightarrow \int_{[a,b]}g>0$$

$$\Rightarrow\quad\displaystyle m\int_{[a,b]}g<\int_{[a,b]}fg<M\int_{[a,b]}g$$

Bolzano ara değer teoremini uygularsak;

$f(c)=\dfrac{\int_{[a,b]}fg}{\int_{[a,b]}g}$ olan $c\in[a,b]$ var olduğu anlaşılır. $Q.E.D.$

Comments

$g$'nin integrali sifir olabilir. (sorudaki ifadeye gore).

---

$g=0$ olduğu zamanlar zaten $\displaystyle\int 0=f(c).\int 0$ oluyor.

---

ekleyeyim         

---

$g=0$ olmasa da integrali sifir olabilir. Diger bir soruda yazdigin `null' olayi. 

---

$\int_{[a.b]}g(x)\,dx=0$ olsun.

$f$ sürekli olduğundan, bir $M\geq0$ için (tüm $x$ ler $[a.b]$ aralığında) $|f(x)|\leq M$ olur. O zaman

$0\leq |f(x)g(x)|\leq Mg(x)$ olur. Buradan $\int_{[a,b]}|f(x)g(x)|\,dx=0$ olur. Bunun sonucu olarak $\int_{[a,b]}f(x)g(x)\,dx=0$ elde edilir. Eşitlik yine sağlanır.