Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
615 kez görüntülendi
$$X=\{f\in C[a,b]| f''-sürekli\quad f(a)=f(b)=0\}$$ ve $$T:X\to C[a,b]$$ ,$$Tf=f''$$ olsun

$T$'nin bijektif olduğunu gösterdim

$$||Tf||=||f||$$ olup olmadığını gösteremiyorum çünkü burada tanımlanan operatör kontrol edıp egıp bukebılecegım spesıfık bır sonucu yok direkt 2. türevini aldığı için oynayıp bir şey diyemiyorum.

Ama bir şekilde $$||f||=\sup_{x\in X, ||x||=1} ||fx||$$ supremum normu için sınırsız oldugunu gosterdım ama yine de iki kümede de bazı fonksıyon dizileri sınırsız olabılır ama yıne de ısometrık isomorfizma olmadıgı anlamına gelmıyor

$$f(x)=[(x-a)(x-b)]^n, \quad n\ge 2$$

$f(a)=f(b)=0$

$$f''(x)=n[(x-a)(x-b)]^{n-2}(2x-(a+b))\left[(n-1)(2x-(a+b))\\+2(x-a)(x-b)\right]\\ f''(x) \sim n^2 g(x)+\mathcal O(n)$$ öyle bir $g(x)$ sınırlı $g(x)$ ve $x\in [a,b]$ için.

Dolayısıyla $||Tf||=||f''||\to \infty$

peki $||Tf||=||f||$ olup olmadıgını nasıl gösterebilirim.
Lisans Matematik kategorisinde (7.8k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi | 615 kez görüntülendi
Polinomlar ile oynamışsın, güzel, ama neden $n > 2$ seçtin? Mesela $f$ ikinci dereceden bir polinom olsa ne olur, yani $n = 1$ olsa?
aslında 2ye de eşit olabilir, yani diyelim 1 alırsak 2.dereceden bir polinom ya bir sabite eşit olacak dolayısıyla sonsuza gitmeyecekti normu, gerçi amacımız sonsuza gitmesi degil eşit olmadıgını göstermekse zaten, 2. türevi sonlu ama $f$'nin normuna eşit olsa da olurdu. Normu dogru seçersek bu T operatörü cidden izometri oluyor mu merak ediyorum ve $f''$'ile oynayamadım taylor 2. derece açılımı vesaire denedim ama genel bir şekilde göstermek gerek.
Ben "ikinci dereceden bir polinomun ikinci türevi sıfırdır" diye düşünüp sormuştum sorularımı ama tabii doğru değil bu. Geri alıyorum.
Bu doğru mu?

$a=0,b=\pi$ için $f_n(x)=\sin(nx)$ dizisinde $\left\|f_n\right\|=1$ ama $\left\|Tf_n\right\|=\left\|-n^2f_n\right\|=n^2$ olmuyor mu?
Ek: sınırsız olunca süreksiz olur. Oysa izometiler (düzgün) süreklidir.
aynen hocam ,a ve b rastgele diye polinom örnegi vermek istedim, pekala supnormu altında bu T izometri degil dediginiz gibi sürekli yani sınırlı olmalı peki T'yi izometri yapacak bir norm var mıdır?
$T:V\to W$ lineer ve 1-1 ise $W$ deki normu $V $ ye taşıyıp T yı izometri yapabiliriz.

$\left\|v\right\|_V:=\left\| Tv\right\|_W$ ile (V de) tanımlanan norma göre $ T$ izometri olur.
Ama bu T 1-1 mi?
Evet 1-1 çünkü $Tf=f''=0$ olsun, dolayısıyla $f(x)=c_1x+c_2$ ve $f(a)=f(b)=0$ için $f\equiv 0$ oluyor yani kernelimiz sadece $0$ elemanı var.
Ama kafam karıştı izometriler bounded olmak zorunda ama ben de siz de bounded olmayan functionallar bulabildik, nasıl oluyor da $F$'den gelen norm ki unbounded oldugunu gosterdıgımız normla aynılar $||\cdot||_\infty$ izometri oldu.
Ek: Sınırlı olup olmamak kullanılan norma bağlı bir şey.

$X$ deki yeni norm $\left\|\,\right\|_\infty$ DEĞİL.

Yeni norm $\left\| f\right\|=\left\|Tf\right\|_\infty=\left\|f''\right\|_\infty$

($X$ de) Bu norm kullanılırsa ,$T$ izometri oluyor.
19,567 soru
21,280 cevap
71,626 yorum
33,061 kullanıcı