$a,b$ noktalarında $0$ alan 2 kez türevlenebilen fonksiyonlar üzerindeki norm hakkında.

Question

$$X=\{f\in C[a,b]| f''-sürekli\quad f(a)=f(b)=0\}$$ ve $$T:X\to C[a,b]$$ ,$$Tf=f''$$ olsun

$T$'nin bijektif olduğunu gösterdim

$$||Tf||=||f||$$ olup olmadığını gösteremiyorum çünkü burada tanımlanan operatör kontrol edıp egıp bukebılecegım spesıfık bır sonucu yok direkt 2. türevini aldığı için oynayıp bir şey diyemiyorum.

Ama bir şekilde $$||f||=\sup_{x\in X, ||x||=1} ||fx||$$ supremum normu için sınırsız oldugunu gosterdım ama yine de iki kümede de bazı fonksıyon dizileri sınırsız olabılır ama yıne de ısometrık isomorfizma olmadıgı anlamına gelmıyor

$$f(x)=[(x-a)(x-b)]^n, \quad n\ge 2$$

$f(a)=f(b)=0$

$$f''(x)=n[(x-a)(x-b)]^{n-2}(2x-(a+b))\left[(n-1)(2x-(a+b))\\+2(x-a)(x-b)\right]\\ f''(x) \sim n^2 g(x)+\mathcal O(n)$$ öyle bir $g(x)$ sınırlı $g(x)$ ve $x\in [a,b]$ için.

Dolayısıyla $||Tf||=||f''||\to \infty$

peki $||Tf||=||f||$ olup olmadıgını nasıl gösterebilirim.

Comments

Polinomlar ile oynamışsın, güzel, ama neden $n > 2$ seçtin? Mesela $f$ ikinci dereceden bir polinom olsa ne olur, yani $n = 1$ olsa?

---

aslında 2ye de eşit olabilir, yani diyelim 1 alırsak 2.dereceden bir polinom ya bir sabite eşit olacak dolayısıyla sonsuza gitmeyecekti normu, gerçi amacımız sonsuza gitmesi degil eşit olmadıgını göstermekse zaten, 2. türevi sonlu ama $f$'nin normuna eşit olsa da olurdu. Normu dogru seçersek bu T operatörü cidden izometri oluyor mu merak ediyorum ve $f''$'ile oynayamadım taylor 2. derece açılımı vesaire denedim ama genel bir şekilde göstermek gerek.

---

Ben "ikinci dereceden bir polinomun ikinci türevi sıfırdır" diye düşünüp sormuştum sorularımı ama tabii doğru değil bu. Geri alıyorum.

---

Bu doğru mu?

$a=0,b=\pi$ için $f_n(x)=\sin(nx)$ dizisinde $\left\|f_n\right\|=1$ ama $\left\|Tf_n\right\|=\left\|-n^2f_n\right\|=n^2$ olmuyor mu?

---

Ek: sınırsız olunca süreksiz olur. Oysa izometiler (düzgün) süreklidir.

---

aynen hocam ,a ve b rastgele diye polinom örnegi vermek istedim, pekala supnormu altında bu T izometri degil dediginiz gibi sürekli yani sınırlı olmalı peki T'yi izometri yapacak bir norm var mıdır?

---

$T:V\to W$ lineer ve 1-1 ise $W$ deki normu $V $ ye taşıyıp T yı izometri yapabiliriz.

$\left\|v\right\|_V:=\left\| Tv\right\|_W$ ile (V de) tanımlanan norma göre $ T$ izometri olur.

---

Ama bu T 1-1 mi?

---

Evet 1-1 çünkü $Tf=f''=0$ olsun, dolayısıyla $f(x)=c_1x+c_2$ ve $f(a)=f(b)=0$ için $f\equiv 0$ oluyor yani kernelimiz sadece $0$ elemanı var.

---

Ama kafam karıştı izometriler bounded olmak zorunda ama ben de siz de bounded olmayan functionallar bulabildik, nasıl oluyor da $F$'den gelen norm ki unbounded oldugunu gosterdıgımız normla aynılar $||\cdot||_\infty$ izometri oldu.

---

Ek: Sınırlı olup olmamak kullanılan norma bağlı bir şey.

$X$ deki yeni norm $\left\|\,\right\|_\infty$ DEĞİL.

Yeni norm $\left\| f\right\|=\left\|Tf\right\|_\infty=\left\|f''\right\|_\infty$

($X$ de) Bu norm kullanılırsa ,$T$ izometri oluyor.