Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
153 kez görüntülendi

$a,b>0$ sabitler olsun.

Her $x>0$ için $f(ax)=bf(x)$ sağlayan, ve her $x>0$ için türevlenebilen fonksiyonlar bulunuz.

Lisans Matematik kategorisinde (5.4k puan) tarafından  | 153 kez görüntülendi
Elbette, sadece, $a,b\neq1$ durumu ilginç.

Türevlenebilme koşulu biraz kıstlayıcı.

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme

$a=b$ olsa elbette çok kolay bir soru olurdu. Lineer (bir $c$ sabiti için $f(x)=cx$) şeklindeki fonksiyonlar (ama sadece onlar DEĞİL) istenen koşulları sağlardı.

$a\neq b$ ve $b\neq1$ için şöyle bir çözüm bulabiliriz:

$r=\log_ba$ olsun.

Koşulumuzu, $(f(ax))^r=b^r(f(x))^r=a(f(x))^r$ şeklinde yazarsak (bir $c\geq0$ sabiti için) $(f(x))^r=cx$ eşdeğer olarak, $f(x)=c^{\frac1r}x^{\frac1r}=Cx^{\frac1r}$) fonksiyonlarının bu koşulu sağladığı ve her $x>0 $ için türevlendiği görülür.

($r$ uygun ise $c<0$ da olabilir)

Fakat bunların dışında, istenen koşulları sağlayan başka fonksiyonlar da var.

Örneğin.

$1\leq x\leq a$ aralığında ($a<1$ ise $a\leq x\leq1$ aralığında) türevlenebilen, $g(a)=bg(1)$ olan ve $1$ ve $a$ da (tek taraflı) türevi $0$ olan bir $g$ fonksiyonu alalım. (örneğin $g(x)=(x-1)^2(a-x)^2$ böyle bir fonksiyondur, başka pek çok fonksiyon bulunabilir)

Her $x>0$ için,   $ a^k\leq x<a^{k+1}$ olacak şekilde tek bir $k\in\mathbb{Z}$ vardır. $f(x)=b^kg(a^{-k}x)$ olarak tanımladığımızda,

Her $x>0$ için $f(ax)=bf(x)$ sağlandığı kolayca gösterilir. $g(a)=bg(1)$ oluşundan $f$ süreklidir.

$x\neq a^k\ (k\in\mathbb{Z})$ için türevlenebildiği de kolaydır.

Son olarak, $x=a^k\ (k\in\mathbb{Z})$ olduğunda sağdan ve soldan türevlerinin var (ve $0$ a eşit) olduğunu göstermek de zor değil.

Soru: Başka böyle $f$ var mıdır?

Soru: (ilk çözümdekiler dışında) $C^{\infty}$ sınıfından (sonsuz kez türevlenebilen) böyle bir $f$ bulunabilir mi?

(5.4k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi
Hocam soyle bir denemem oldu ama sonuna dogru tikandim

$f(ax) = bf(x)$

$af'(ax) = bf'(x)$

$a^2f''(ax) = bf''(x)$

daha genel olarak

$a^i \frac{d^i f(ax)}{dx^i} = b \frac{d^i f(x)}{dx^i}$

yukaridaki fonksyonlarin hepsini bir $x_0$ da degerlendirirsek

$\frac{d^i f(x)}{dx^i}|_{x=x_0}  =  \frac{a^i}{b} \frac{d^i f(ax)}{dx^i} |_{x=x_0}$

gelir. Bunu kullanip $f$ in taylor acilimini yazsak ve convergence radius a baksak olmaz mi ?
19,468 soru
21,189 cevap
71,133 yorum
27,346 kullanıcı