Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
342 kez görüntülendi
Lisans öğrencileri için bir uluslararası yarışmada sorulmuş.
Lisans Matematik kategorisinde (6.2k puan) tarafından 
tarafından yeniden etikenlendirildi | 342 kez görüntülendi
Türev aldığımızda oluşan $ f''(x) = f''\left(\frac{x - 1}{7}\right)$  fonksiyonu sonsuz noktada aynı değeri alıyor diyebilirmiyiz emin olamadım. Öyleyse $f''$ sabit fonksiyon olmalı.
$\sin $ ve $\cos$ (veya başka bir çok fonksiyon) de sonsuz noktada aynı değeri alıyor ama (sürekli ve) sabit değil.

İpucu: Aslında $f''$ nin özel  bir noktada sürekli oluşu yeterli.

Her  $x$ için sağlanan $\dfrac{f(x)}{f(7x+1)}=\dfrac{1}{49}$  oranı nedeniyle $f$ nin polinom fonksiyon olmaktan başka şansı var mı?
Her $x\in\mathbb{R}$ için $f(7x+1)=49f(x)$ sağlayan, ama polinom olmayan fonksiyonlar var.

$f(x)$ i,   $[-6,-1)\cup[0,1)$ kümesinde keyfi bir şekilde tanımlayalım. Daha sonra $f(-\frac16)=0$, ve diğer noktalarda $f(7x+1)=49f(x)$ kullanarak tanımlarsak her $x\in\mathbb{R}$ için $f(7x+1)=49f(x)$ sağlanır.
İlk aralıklardaki değerlere biraz daha özen gösterip, $f$ nin 2. türevinin varlığını da garanti edebiliriz eminim.

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme

$\forall x\in\mathbb{R}$ için $7f'(7x+1)=49f'(x)$ ve $f''(7x+1)=f''(x)$ sağlanır.
$7x+1=x$ sadece $x=-\frac16$ için sağlanır. Bu nedenle $f'(-\frac16)=f(-\frac16)=0$ olmalıdır.
Yazma kolaylığı bakımından, $g=f''$ diyelim.
$\forall x\in\mathbb{R}$ için  $g(7x+1)=g(x)$ olması periyodik olmaya BENZER bir özellikdir.
$g$ nin $(-\frac16,+\infty)$ arasındaki tüm değerlerinin, $[0,1)$ aralığındaki değerlerinin tekrarı olduğunu (ve o aralıktaki değerler tarafından belirlendiğini) gösterir. Aynı şey, $(-\infty,-\frac16)$ ve $[-6,-1)$ aralıkları için de geçerlidir.

(Sorunun püf noktası: Her iki aralık (başka benzer aralıklar) da, (aşağıda tanımlanan) $h$ uygulandıkça, gittikçe $-\frac16$ ya "yaklaşan" aralıklara dönüşür. Bu, bize, $g$ nin, $-\frac16$ yi içeren her açık aralıkta, görüntü kümesindeki tüm değerleri alacağını gösterir. Bu da, sürekli oluşu nedeniyle, $g$ yi sabit olmaya zorlayacaktır.)

$h(x)=\frac{x-1}{7}$ ($7x+1$ in ters fonksiyonu) olsun, $g\circ h=g$ olur.
$\forall a>-\frac16$  için $(h^{n}(a))_{n=1}^{\infty}$ ($n$ kez bileşke) dizisinin  $-\frac16$ ya yakınsadığı Monoton Yakınsaklık Teoremi kullanarak (ya da doğrudan  hesaplanarak) görülür. Benzer şekilde, $\forall a<-\frac16$  için $(h^{n}(a))_{n=1}^{\infty}$ dizisi de  $-\frac16$ ya yakınsar.
($g\circ h=g$ olduğu için) $\forall a>-\frac16$ için, $(g(h^{n}(a)))_{n=1}^{\infty} $ sabit ($=g(a)$) bir dizidir.
$g$ fonksiyonu, $-\frac16$ da sürekli olduğu için,  $(g(h^{n}(a)))_{n=1}^{\infty} $ dizisi $g(-\frac16)$ ya yakınsar, limitin biricik oluşundan, $g(a)=g(-\frac16)$ bulunur.
Benzer şekilde, $\forall a<-\frac16$ için, $g(a)=g(-\frac16)$ bulunur.
Bu da, $g$ nin sabit fonksiyon olması demektir. ($f''$ nin yalnızca $-\frac16$ da sürekli olması yeterlidir.)
$\forall x\in\mathbb{R}$ için $g(x)=c$ olsun.
Bu da (böyle bir fonksiyon varsa), $f$ nin, en çok 2. derece polinom olduğunu gösterir.
Daha önce fark ettiğimiz, $f(-\frac16)=f'(-\frac16)=0$ gözlemini de kullanırsak, (böyle bir fonksiyon varsa), $f(x)=\frac c2(x+\frac16)^2$ olması gerektiğini buluruz.
($\forall c\in\mathbb{R}$ için) Bu fonksiyonların ($\forall x\in\mathbb{R}$ için) $f(7x+1)=49f(x)$ koşulunu da sağladığı kolayca görülür.

(6.2k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi

Şurada, bu soru, (İngilizce) benzer şekilde çözülmüş (Dizinin $-\frac16$ ya yakınsadığını açıkça, güzel bir şekilde, göstermişler, ama, son kısımda, $f(-\frac16)=f'(-\frac16)=0$ oluşundan yararlanmayıp, işi biraz uzatmışlar :-) ). Yarışmanın 2023 yılındaki diğer (ve diğer yıllardaki) soruları ve cevapları da aynı sitede bulunuyor.

Sizdeki bilgi ve deneyim pek az kişide vardır @DoganDonmez hocam, normaldir :)

 

Sayfayı inceleyince, bu yarışmanın 1994'ten beri düzenlendiğini gördüm. Türkiye'de üniversiteler-matematik bölümleri neden bu yarışmaya katılmıyor acaba? Rusya'dan bir ünv. katılıyor. İlginç biçimde ABD'deki üniversitelerin katıldığını görmüyorum. ABD'de üniversite öğrencileri için çok daha köklü olan PUTNAM isimli yarışma vardır. Yani bu tür yarışmalara hazırlıklıdır. ABD'dekiler, yarışmaya katılsalar çok iyi dereceler elde eder diye bekliyorum. Türkiye'de bazı matematik bölümü öğrencileri de belli bir düzeyde başarı gösterirler diye tahmin ediyorum.
20,248 soru
21,774 cevap
73,421 yorum
2,150,331 kullanıcı