Kuvvet serisi

Question

$\sum _{n=1}^{\infty }\dfrac {1} {n}\left( 1+\dfrac {1} {x}\right) ^{n}$

x'in hangi değerleri için bu kuvvet serisi mutlak yakınsak,koşullu yakınsak ya da ıraksak olur?

(Yakınsaklık aralığı)

Comments

Oran testini kullandiniz mi?

---

Oran testini x'li terimi devre dışı bırakıp uyguladığımızda bu soru çıkmadı. Ben de oran testini x'leri de içerecek biçimde yakınsaklık koşulundan giderek buldum. 

---

$x$'li terimi devre disi irakmak derken? $a_{n+1}/a_n$  limitine bakilacak sonucta, bu bir butun.

Answer 1

Oran testi

$\lim _{n\rightarrow \infty }\dfrac {n} {n+1}.\left| 1+\dfrac {1} {x}\right| < 1$

$$\begin{align*} & \left| 1+\dfrac {1} {x}\right| < 1\\ & -1 < 1+\dfrac {1} {x} < 1\end{align*}$$

$-\infty < x < -\dfrac {1} {2}$

Bu aralıkta mutlak yakınsak

x=-1/2 için. koşullu yakınsak

x=0 için tanımsız