Düzlemde eşkenar üçgenin varlığı

Question

İki boyutlu koordinat düzleminde, her üç noktasının koordinatları da tamsayı olan bir eşkenar üçgen var mıdır? Varsa nedir?

Comments

Böyle bir üçgen varsa bu üçgenin kenarları eksenlere paralel olamaz.

---

Eksenlere paralel olsa aradaki kenarlar arasindaki aci 90 derece olur zaten.

Answer 1

Üçgenin köşeleri $(a_1,b_1),(a_2,b_2),(a_3,b_3)$ ve hepsi tamsayı olsun. Üçgenin alanı $\pm\frac12\det\left|\begin{array}{ccc} a_1 & b_1&1\\a_2&b_2&1\\a_3&b_3&1\end{array}\right|$ formülünden rasyonel bir sayı olur. Diğer taraftan alan taban-yükseklik formülünden bulunursa $\frac{\sqrt3}4\times a^2\quad (a:kenar)$ dir, ama kenarın karesi rasyoneldir (hatta tamsayıdır). $\sqrt3$ irrasyonel olduğu için alan irrasyonel olur. Çelişki.

Daha genel olarak bir eşkenar üçgenin köşelerinin  tüm koordinatlarının rasyonel olamayacağını da göstermiş olduk.

Answer 2

Bir köşesini koordinat sisteminin merkezi olarak alabiliriz. Merkezi koordinat sisteminin merkezindeki bir çemberle; $x^2+y^2=r^2$ çemberi ile y=mx ve y=m'x doğrularının kesim noktalarını bulmalıyız. Burada $tan\alpha=m$ ve $tan(\alpha+60)=m'$ olmalıdır. Bulunan bu noktaların koordinatlarının tam sayı olması koşulu incelenmelidir.

Answer 3

Şöyle de düşünülebilir: Düzlemde eşkenar üçgenin köşe koordinatları $(0,0),(a,b),(c,d)$  ve $a,b,c,d$  sayıları sıfırdan farklı tam sayılar olsun. Şimdi $(a,b)$  noktasını  $\pi/3$ radyanlık bir dönmeyle $(c,d)$  noktasına dönüştürelim. Bu döndürüyü $a+ib=(c+id).e^{i.\pi/3}$  ile ifade edebiliriz. Bu eşitlik ancak $a=b=c=d=0$ iken sağlanır. Demek ki üç köşe aynı anda tam sayı hatta rasyonel sayı olamaz. Fakat 3-boyutlu uzayda böyle bir üçgen mevcut(muş): $(0,0,0),(1,0,1),(1,1,0)$

Answer 4

Şartı sağlayan eşkenar üçgen bulamadık ama dört köşesi de tam sayı olan bir kare bulmak aşikar olarak mümkün. Örneğin $(0,0),(1,0),(1,1),(0,1)$  karesi. Bunu öteleyerek istediğimiz kadar kare buluruz bariz olarak. Acaba $n$  köşesi de tam sayı  olan, kareden başka bir düzgün $n-gen$  var mı?