Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
3k kez görüntülendi

x ve y tamsayı olmak üzere,

$|x|+|y|\leq 10$ eşitsizliğini sağlayan kaç farklı $(x,y)$ sıralı ikilisi vardır ?

Orta Öğretim Matematik kategorisinde (1.3k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi | 3k kez görüntülendi

$n^2 + (n+1)^2$

4 Cevaplar

1 beğenilme 0 beğenilmeme
En İyi Cevap

İpucu: 

$$\beta=\left\{(x,y)\big{|}|x|+|y|\leq 10, (x,y)\in\mathbb{R}^2\right\}$$ bağıntısının grafiğini çiz. Baklava dilimine benzer bir şekil karşına çıkacak. Bu baklava dilimine benzer şeklin içinde kalan tamsayı ikililerini tespit etmeye çalış. Kareli bir kağıt üzerinde çalışırsan daha kolay bulabilirsin.

(11.4k puan) tarafından 
tarafından seçilmiş

grafiğini çizdimde, grafikten nasıl 221 gelecek orası x :)

1 beğenilme 0 beğenilmeme

Genel olarak formulu $4\frac{n(n+1)}{2}+1$. Bunu nasil buluruz, orijin disinda bolgeleri tek esenli sekilde $4$'e ayirinca her bolgeye $1+2+\cdots+n$ nokta duser. 

(25.4k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi

Burada $n$ nedir?       

$n$ okuyucunun bulmasi gereken bir sabit. Genelde dogal sayi olur. O kismi okuyucuya biraktim.

formülde n 10 yazınca cevap 221 çıkıyor.çayda içmiyorum soruyla :|
0 beğenilme 0 beğenilmeme

Bunun için $|x|+|y|=10,9,8,\cdots,0$ ikililerini düşünebiliriz, $|x|=a$ ve $|y|=b$ diyelim $a,b\geq 0$ olduğunu bildiğimiz için $$\\a+b=10\text{  ise  }\Rightarrow \dbinom{10+2-1}{2-1}=11\\a+b=9\text{  ise  }\Rightarrow \dbinom{9+2-1}{2-1}=10\\a+b=8\text{  ise  }\Rightarrow \dbinom{8+2-1}{2-1}=9\\a+b=7\text{  ise  }\Rightarrow \dbinom{7+2-1}{2-1}=8\\a+b=6\text{  ise  }\Rightarrow \dbinom{6+2-1}{2-1}=7\\a+b=5\text{  ise  }\Rightarrow \dbinom{5+2-1}{2-1}=6\\a+b=4\text{  ise  }\Rightarrow \dbinom{4+2-1}{2-1}=5\\a+b=3\text{  ise  }\Rightarrow \dbinom{3+2-1}{2-1}=4\\a+b=2\text{  ise  }\Rightarrow \dbinom{2+2-1}{2-1}=3\\a+b=1\text{  ise  }\Rightarrow \dbinom{1+2-1}{2-1}=2\\a+b=0\text{  ise  }\Rightarrow 1 \text{   durum vardır   }$$ Şimdi burada şöyle bir püf nokta var: Her ikisinin de $0$ olduğu, yani toplamlarının sıfır olduğu durum hariç geri kalanlar $4$ ile çarpılır. Neden? Çünkü $a=|x|$ ve $2$ değer alabiliyor, aynı şekilde $b=|y|$ ve o da $2$ değer alabiliyor. (Biri $>0$, biri $<0$ olmak üzere) Mesela $11$ toplamlı da $9$ tane $0$'sız ikili var ve $2$ tane $0$'lı ikili var $9\cdot4+2\cdot2=9\cdot4+4$ bana istenen ikiliyi verecektir. Aynı mantıkla gidebildiğimiz kadar gideceğiz; $$9\cdot4+4+8\cdot4+4+7\cdot4+4+6\cdot4+4+5\cdot4+4+4\cdot4+4+3\cdot4+4+2\cdot4+4+1\cdot4+4+0\cdot4+4+ ''1''$$  $$=4\cdot\dfrac{(9+8+7+\cdots+1)\cdot10}{2}+4\cdot10+''1''=180+40+1=221$$

Burada , $n=10$ dersek $$4\cdot\dfrac{(n-1)n}{2}+4n+1=4\cdot\dfrac{n(n+1)}{2}+1$$ Sercan Hocanın geçen cevapta kullandığı formül geliyor...

(895 puan) tarafından 
tarafından düzenlendi
0 beğenilme 0 beğenilmeme

$n^2 + (n+1)^2$ formülünü kullanırsak, $n=10$ için $10^2+11^2=221$ olarak cevap bulunur.

(20 puan) tarafından 

Bu formul nereden geliyor?

20,221 soru
21,752 cevap
73,359 yorum
2,003,233 kullanıcı