g[lim
Bir yerde bir soru gördüm soru yukardaki eşitliğin her zaman sağlanıp sağlanmadığını soruyordu.
Elimde analiz kitabı var ve buna benzer teorem ve ispatı var ispat aynen aşşağıdaki gibi, ancak sorum şu, aşşağıdaki teorem ve ispatını yukardakine aynen uygulayabilir miyim?
-------------------
\lim\limits_{x\to a}g(x)=b ve \lim\limits_{t\to b}f(t)=L olsun;
\lim\limits_{t\to b}f(t)=b 'yi \lim\limits_{t\to b}f(t)=f\left(\lim\limits_{x\to a}g(x)\right)
gibi yazabiliyor muyuz.
-------------------
Teorem(limitler için değişken değiştirme teoremi):
a,b,L\in \mathbb R,\; g; x\neq a için g(x)\neq b şeklinde bir fonksiyon,
\lim\limits_{x\to a}g(x)=b ve \lim\limits_{t\to b}f(t)=L olsunlar.
O zaman \lim\limits_{x\to a}f\left(g(x)\right)=L olur.
Bahsi mevzu teoremin İSPAT'ı:
\epsilon>0 verilsin. \lim\limits_{x\to b}f(t)=L olduğundan
0<|t-b|<\gamma ve x\in D_f iken |f(t)-L|<\epsilon (\star)
olacak şekilde bir \gamma (>0) sayısı vardır.
\lim\limits_{x\to a}g(x)=b olduğundan
0<|x-a|<\delta ve x\in D_g iken |g(x)-b|<\gamma olacak şekilde bir \delta(>0) sayısı vardır.
O zaman,
0<|x-a|<\delta ve t\in D_f iken |f(g(x))-L|<\epsilon olduğunu gösterelim.
0<|x-a|<\delta ve x\in D_f olsun. |g(x)-b|<\gamma ve g(x)\neq b olduğundan;
0<|g(x)-b|<\gamma olur. Bu nedenle, (\star) dan dolayı,|f(g(x))-L|<\epsilon olur.