Noktanın düzleme ve doğruya olan uzaklıkları

Question

1) $P(x_0,y_0)$ noktasının düzlemdeki $d:ax+by+c=0$ doğrusuna uzaklığını veren $\frac{ax_0+by_0+c}{\sqrt{a^2+b^2}}$ bağıntısını ispatlayınız.

2) $P(x_0,y_0,z_0)$ noktasının uzaydaki $E: ax+by+cz+d=0$ düzlemine uzaklığını veren $\frac{ax_0+by_0+cz_0+d}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$ bağıntısını ispatlayınız.

3) $P(x_0,y_0,z_0)$ noktasının uzaydaki $x=a.k+x_1$, $y=b.k+y_1$, $z=c.k+z_1$ parametrik denklemli doğruya uzaklığı nasıl formülize edilebilir?

Comments

ben sorcaktım bunları neyse:) o zaman cozmek düşer bize de:)

---

Sormayana sorarlar Anil :) Cozerken kolay gelsin :)

Answer 1

program için @DoganDonmez hocamıza teşekkürler

Cevab 1)

• $ax+by+c=0$  doğrusu için önce izdüşümü gibi şeylere bakalım...
  

$P(x_0,y_0)$ noktasının  $ax+by+c=0$ denklemi  $d$ doğrusu üzerindeki dik izdüşümü  $H(x,y)$ olsun.$d$ doğrusunun eğimi $\dfrac{-a}{b}$  olduğundan $|PH|$ 'in eğimi $\dfrac{b}{a}$ dır.

$|PH|$ için denklem yazarsak;

$\dfrac{b}{a}=\dfrac{y-y_0}{x-x_0}$    $\longrightarrow$    $\boxed{bx-bx_0=ay-ay_0}$ olur

$ax+by+c=0$  ı düzenlersek $\boxed{ax+by=-c}$ bu son 2 kutu içindeki denklemlerde düzenlemeler yaparsak

$ax+by=-c$

$bx-ay=bx_0-ay_0$     birinciyi "a" ile ikinciyi "b" ile çarpalım ve taraf tarafa toplar "x" i çeker ve benzer şekilde birinciyi -b ikinciyi - a ile çarparak "y" yi çekersek

$x=\dfrac{b^2x_0-aby_0-ac}{a^2+b^2}$

$x=\dfrac{b^2x_0-aby_0-ac+(a^2x_0)-(a^2x_0)}{a^2+b^2}$  yaparsak

$\boxed{\boxed{\dfrac{x-x_0}{a}=-\dfrac{ax_0+by_0+c}{a^2+b^2}}}$

ve

$\boxed{\boxed{\dfrac{y-y_0}{b}=-\dfrac{ax_0+by_0+c}{a^2+b^2}}}$

buraya kadar izdüşümü ispatını yaptık.

$\boxed{\boxed{x-x_0=-a.\dfrac{ax_0+by_0+c}{a^2+b^2}}}$

ve

$\boxed{\boxed{y-y_0=-b.\dfrac{ax_0+by_0+c}{a^2+b^2}}}$  diye düzenleyelim daha sonra karelerini ayrı ayrı alıp taraf tarafa toplarsak

$\ell^2=(x-x_0)^2+(y-y_0)^2=\dfrac{(a^2+b^2)(ax_0+by_0+c)^2}{(a^2+b^2)^2}=\dfrac{(ax_0+by_0+c)^2}{(a^2+b^2)}$

$\ell=\dfrac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$  $\Box$

daha bana özgü bir cevap veririm ilerde :) bir şeyler üretmeye calısıyorum bakalım:)....

Comments

Eline sağlık, çok güzel olmuş. Lakin gözüme çarpan bir hata var $x=\dfrac{b^2x_0-aby_0-ac\pm(a^2x_0)}{a^2+b^2}$ değil $x=\dfrac{b^2x_0-aby_0-ac+(a^2x_0)-(a^2x_0)}{a^2+b^2}$ olmalı. Şöyle düşün senin yazdığının işareti eksi veya artı, benim yazdıklarımın işareti eksi ve artı. Fark var yani :)

---

hayır ya:D orada hem + hemde - lısını ekleyelım demek ıcın onu yazdım:) neyse genede duzelteyım

---

oburlerını de yazıcam bıraz ozumseyıp ugrasmam lazım:)

Answer 2

$ax+by+c=0$ ve $x=x_0$ doğrularının kesişim noktasının koordinatı $A(x_0,-\frac{ax_0+c}{b})$, $ax+by+c=0$ ve $y=y_0$ doğrularının kesişim noktasının koordinatı ise $B(-\frac{by_0+c}{a},y_0)$'dir. Şimdi $H \in [AB]$ ve $[PH]\bot[AB]$ olacak şekilde bir $h$ noktası tanımlayalım. O halde oluşan $PAB$ üçgeninin alanı $\frac{|PA|.|PB|}{2}=\frac{|AB|.|PH|}{2}$ olur. Düzenlersek $\frac{(y_0+\frac{ax_0+c}{b})(x_0+\frac{by_0+c}{a})}{2}=\frac{\sqrt{(y_0+\frac{ax_0+c}{b})^2+(x_0+\frac{by_0+c}{a})^2}.|PH|}{2}$$\Rightarrow \frac{(ax_0+y_0+c)^2}{ab}=\sqrt{\frac{(a^2+b^2)(ax_0+y_0+c)^2}{a^2b^2}}.|PH|\Rightarrow |PH|=\frac{(ax_0+by_0+c)}{\sqrt{a^2+b^2}}$ buluruz.