Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
1 beğenilme 0 beğenilmeme
248 kez görüntülendi
Bir $d$ doğrusuna ve bir $O$ noktasına uzaklıkları toplamı $a$ kadar olan noktaların geometrik yerini bulun ve irdeleyin.

1971 yılı İTÜ giriş sınavı sorusu
Lisans Matematik kategorisinde (5.4k puan) tarafından  | 248 kez görüntülendi
dogrumuz su  denklemle verilse:

$l(t) = p_0 + n \cdot t$

$q(t)$ noktasinin $l$ dogrsuna uzakligi:

$f_1(q) = d(q(t),l) = \frac{\| (p_0 - q(t)) \times n \| }{\| n\|}$

$q(t)$ noktasinin $p_2$ uzakligi ise :

$f_2(q) = d(q(t),p_2) = \| (p_2 - q(t) \| $

Soyle bir f fonksyonu yazalim

$f(q(t)) = f_1(q(t)) + f_2(q(t)) - a$

sanirim bu fonksiyonun kokleri bize istedigimiz noktalari vermeli.

 

diger yandan soyle dusunuyorum. iki noktaya uzakliklari toplami sabit olan cisimler elips. Dogru uzerindeki her nokta, sabit bir $p$ noktasi icin ayni semi major aksisli elipsleri cizsek ve kesistirsek (bazi noktalar icin cizemeyecegiz) acaba bu da bir cevap olur mu

 

Duzenleme sonrasi:

Parabol mu acaba cevap ?

$x$ eksenini dogrumuz olarak kabul edersek

$x + \sqrt{(x-p_x)^2 + (y-p_y)^2} = a$

denklemini saglayan $(x,y)$ noktalari isimizi gormeli

eger $a-|x| < 0 $ ise

$ |x| = a - \sqrt{y^2-2p_yy+x^2 - 2p_x x + p_x^2 + p_y^2}$

yok degil ise

$y = p_y \pm \sqrt{2(p_x - a)|x| - p_x^2 + a^2}$

sonuclarina eristim emin degilim ama yaptiklarimin hicbirinden
Yaklaştın, ama tam olmadı.

$x$ eksenine uzaklık $x$ değil.
Düzlemde mi?

@DoganDonmez bu kadar basit bir seyi gozumden kacmasi uzucu oldu uykusuzluguma veriyorum :). $x$ eksenine uzaklik $|y|$ olmali

denklemimiz suna dondu:

\[ \left| y\right| +\sqrt{{{\left( y-{p_y}\right) }^{2}}+{{\left( x-{p_x}\right) }^{2}}}=a\]

Eger $a-\left| y\right| \geq 0$  ise

\[x={p_x}\pm\sqrt{-2 a \left| y\right| +2 {p_y} y-{{{p_y}}^{2}}+{{a}^{2}}}\]

yok degil ise

\[\sqrt{{{y}^{2}}-2 {p_y} y+{{x}^{2}}-2 {p_x} x+{{{p_y}}^{2}}+{{{p_x}}^{2}}}=a-\left| y\right| \]

diyebiliriz

soyle resmini de cizdirdim

dogrumuz $x$ ekseni ve $p = (1,1)$  ve $a = 3$ icin

 

@DoganDonmez hocam bu sorunun "Calculus of Variations" tan gelme yontemlerle cozulebilecegini de dusunuyorum ama nasil formule edecegimi cikaramadim
Bu aslında lise mezunlarına sorulmuş bir soru.

Calculus of Variations gereksiz (aslında işe yarayacağından da emin değilim)

Cevaba yakınsın. Şekil güzel olmuş, biraz ipucu veriyor.

2 Cevaplar

2 beğenilme 0 beğenilmeme
En İyi Cevap

Bir de geometrik bir çözüm yapalım. Nokta ile doğru arasındaki mesafe $d$, uzaklıklar toplamı $a$ ve $a>d$ olmak üzere:

$O$ noktasından $d$ doğrusuna paralel iki yönde $a-d$ kadar mesafe gidip bu noktaları $A$ ve $B$ diye işaretleyelim. Daha sonra $d$ doğrusuna dik ve ondan uzaklaşan yönde $\frac{a-d}{2}$ kadar gidip $C$ noktasını işaretleyelim. Şekil 1'de gösterildiği gibi bir $d'$ doğrultmanı kullanarak $A, B, C$ noktalarından geçen parabolü çizebiliriz [1]. $O$ noktasına ve $d$ doğrusuna eş uzaklıktaki herhangi başka bir $D$ noktasının da, $O$ noktasıyla aynı tarafta kalmak koşuluyla, bu parabol üzerinde olması gerektiği gösterilebilir.

Doğrunun aksi tarafındaki noktalar kümesi içinse aynı mantıkla Şekil 2'deki gibi yeni bir $d''$ doğrultmanı bulunup ikinci bir parabol inşa edilebilir. İki taraftaki paraboller $d$ üzerindeki $D$ ve $F$ noktalarında kesişip kapalı bir eğri oluşturacaklar.

Şekil 1:

Şekil 2: 

[1] Parabolün bir nokta ve doğrtulmana göre burada verilen tanımını kullanarak.

(145 puan) tarafından 
tarafından seçilmiş
Başka ilginç bir nokta: Şekil 1'de $O$'dan $d$ doğrusuna $O'$ izdüşümünü alalım ve üzerinden bu iki noktaya toplam mesafe $a$ olacak şekilde bir elips çizelim. Çizimdeki parabolü kendi odak uzunluğu tek başına belirlediğinden, elipste $a-d$ sabit kalacak şekilde $a,d \rightarrow \infty$ limitinde yine çizimdeki parabole ulaşırız.

Şekil 2'de $a+d$ sabit, $a \rightarrow \infty$ ve $ d \rightarrow -\infty$ için aynısı düşünülebilir.
2 beğenilme 0 beğenilmeme
@eloi cevaba epeyce yaklaşmıştı.

(Eksenleri bu şekilde çizerek) Doğruyu $x$-ekseni olarak, noktayı da (pozitif) $y$-ekseni üzerinde kabul edebiliriz.

$O$ noktasının doğruya uzaklığı $d$ olsun. O zaman $O(0,d)$ olur.

$a<d$ ise istenen özellikte nokta yoktur.

$a=d$ ise sadece $O$ dan doğruya çizilen dik doğru parçasının üzerindeki noktalar bu eşitliği sağlar ($\{(0,y):0\leq y\leq d\}$)

Sadece $a>d$ durumu ilginçtir.

Düzlemde, bir $P(x,y)$ noktasının $x$-eksenine uzaklığı $|y|$ olduğu için, bu kümede olması için gerek ve yeter şart:

$\sqrt{x^2+(y-d)^2}+|y|=a$ olmasıdır.

$\sqrt{x^2+(y-d)^2}=a-|y|$.

$x^2-2dy+2a|y|=a^2-d^2$

$y\geq0$ iken:

$y=\frac{a^2-d^2-x^2}{2(a-d)}$

$y\leq0$ iken:

$y=\frac{x^2-a^2+d^2}{2(a+d)}$

bulunur. Geometrik yer, eloi nin çizimindeki gibi, iki parabol parçasının birleşimidir.

$K=\{(x,\frac{a^2-d^2-x^2}{2(a-d)}):-\sqrt{a^2-d^2}\leq x\leq\sqrt {a^2-d^2}\}\cup\{(x,\frac{x^2-a^2+d^2}{2(a+d)}):-\sqrt{a^2-d^2}\leq x\leq\sqrt{a^2-d^2}\}$

olarak yazılabilir.

Edit: "döğru"  yazmışım, düzelttim.
(5.4k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi
19,507 soru
21,235 cevap
71,438 yorum
30,330 kullanıcı