Bir noktaya ve bir doğruya uzaklıkları toplamı sabit olan noktaların geometrik yerini bulunuz

Question

Bir $d$ doğrusuna ve bir $O$ noktasına uzaklıkları toplamı $a$ kadar olan noktaların geometrik yerini bulun ve irdeleyin.

1971 yılı İTÜ giriş sınavı sorusu

Comments

dogrumuz su  denklemle verilse:

$l(t) = p_0 + n \cdot t$

$q(t)$ noktasinin $l$ dogrsuna uzakligi:

$f_1(q) = d(q(t),l) = \frac{\| (p_0 - q(t)) \times n \| }{\| n\|}$

$q(t)$ noktasinin $p_2$ uzakligi ise :

$f_2(q) = d(q(t),p_2) = \| (p_2 - q(t) \| $

Soyle bir f fonksyonu yazalim

$f(q(t)) = f_1(q(t)) + f_2(q(t)) - a$

sanirim bu fonksiyonun kokleri bize istedigimiz noktalari vermeli.

 

diger yandan soyle dusunuyorum. iki noktaya uzakliklari toplami sabit olan cisimler elips. Dogru uzerindeki her nokta, sabit bir $p$ noktasi icin ayni semi major aksisli elipsleri cizsek ve kesistirsek (bazi noktalar icin cizemeyecegiz) acaba bu da bir cevap olur mu

 

Duzenleme sonrasi:

Parabol mu acaba cevap ?

$x$ eksenini dogrumuz olarak kabul edersek

$x + \sqrt{(x-p_x)^2 + (y-p_y)^2} = a$

denklemini saglayan $(x,y)$ noktalari isimizi gormeli

eger $a-|x| < 0 $ ise

$ |x| = a - \sqrt{y^2-2p_yy+x^2 - 2p_x x + p_x^2 + p_y^2}$

yok degil ise

$y = p_y \pm \sqrt{2(p_x - a)|x| - p_x^2 + a^2}$

sonuclarina eristim emin degilim ama yaptiklarimin hicbirinden

---

Yaklaştın, ama tam olmadı.

$x$ eksenine uzaklık $x$ değil.

---

Düzlemde mi?

---

@DoganDonmez bu kadar basit bir seyi gozumden kacmasi uzucu oldu uykusuzluguma veriyorum :). $x$ eksenine uzaklik $|y|$ olmali

denklemimiz suna dondu:

\[ \left| y\right| +\sqrt{{{\left( y-{p_y}\right) }^{2}}+{{\left( x-{p_x}\right) }^{2}}}=a\]

Eger $a-\left| y\right| \geq 0$  ise

\[x={p_x}\pm\sqrt{-2 a \left| y\right| +2 {p_y} y-{{{p_y}}^{2}}+{{a}^{2}}}\]

yok degil ise

\[\sqrt{{{y}^{2}}-2 {p_y} y+{{x}^{2}}-2 {p_x} x+{{{p_y}}^{2}}+{{{p_x}}^{2}}}=a-\left| y\right| \]

diyebiliriz

soyle resmini de cizdirdim

dogrumuz $x$ ekseni ve $p = (1,1)$  ve $a = 3$ icin

 

---

@DoganDonmez hocam bu sorunun "Calculus of Variations" tan gelme yontemlerle cozulebilecegini de dusunuyorum ama nasil formule edecegimi cikaramadim

---

Bu aslında lise mezunlarına sorulmuş bir soru.

Calculus of Variations gereksiz (aslında işe yarayacağından da emin değilim)

Cevaba yakınsın. Şekil güzel olmuş, biraz ipucu veriyor.

Answer 1

Bir de geometrik bir çözüm yapalım. Nokta ile doğru arasındaki mesafe $d$, uzaklıklar toplamı $a$ ve $a>d$ olmak üzere:

$O$ noktasından $d$ doğrusuna paralel iki yönde $a-d$ kadar mesafe gidip bu noktaları $A$ ve $B$ diye işaretleyelim. Daha sonra $d$ doğrusuna dik ve ondan uzaklaşan yönde $\frac{a-d}{2}$ kadar gidip $C$ noktasını işaretleyelim. Şekil 1'de gösterildiği gibi bir $d'$ doğrultmanı kullanarak $A, B, C$ noktalarından geçen parabolü çizebiliriz [1]. $O$ noktasına ve $d$ doğrusuna eş uzaklıktaki herhangi başka bir $D$ noktasının da, $O$ noktasıyla aynı tarafta kalmak koşuluyla, bu parabol üzerinde olması gerektiği gösterilebilir.

Doğrunun aksi tarafındaki noktalar kümesi içinse aynı mantıkla Şekil 2'deki gibi yeni bir $d''$ doğrultmanı bulunup ikinci bir parabol inşa edilebilir. İki taraftaki paraboller $d$ üzerindeki $D$ ve $F$ noktalarında kesişip kapalı bir eğri oluşturacaklar.

Şekil 1:

Şekil 2: 

[1] Parabolün bir nokta ve doğrtulmana göre burada verilen tanımını kullanarak.

Comments

Başka ilginç bir nokta: Şekil 1'de $O$'dan $d$ doğrusuna $O'$ izdüşümünü alalım ve üzerinden bu iki noktaya toplam mesafe $a$ olacak şekilde bir elips çizelim. Çizimdeki parabolü kendi odak uzunluğu tek başına belirlediğinden, elipste $a-d$ sabit kalacak şekilde $a,d \rightarrow \infty$ limitinde yine çizimdeki parabole ulaşırız.

Şekil 2'de $a+d$ sabit, $a \rightarrow \infty$ ve $ d \rightarrow -\infty$ için aynısı düşünülebilir.

Answer 2

@eloi cevaba epeyce yaklaşmıştı.

(Eksenleri bu şekilde çizerek) Doğruyu $x$-ekseni olarak, noktayı da (pozitif) $y$-ekseni üzerinde kabul edebiliriz.

$O$ noktasının doğruya uzaklığı $d$ olsun. O zaman $O(0,d)$ olur.

$a<d$ ise istenen özellikte nokta yoktur.

$a=d$ ise sadece $O$ dan doğruya çizilen dik doğru parçasının üzerindeki noktalar bu eşitliği sağlar ($\{(0,y):0\leq y\leq d\}$)

Sadece $a>d$ durumu ilginçtir.

Düzlemde, bir $P(x,y)$ noktasının $x$-eksenine uzaklığı $|y|$ olduğu için, bu kümede olması için gerek ve yeter şart:

$\sqrt{x^2+(y-d)^2}+|y|=a$ olmasıdır.

$\sqrt{x^2+(y-d)^2}=a-|y|$.

$x^2-2dy+2a|y|=a^2-d^2$

$y\geq0$ iken:

$y=\frac{a^2-d^2-x^2}{2(a-d)}$

$y\leq0$ iken:

$y=\frac{x^2-a^2+d^2}{2(a+d)}$

bulunur. Geometrik yer, eloi nin çizimindeki gibi, iki parabol parçasının birleşimidir.

$K=\{(x,\frac{a^2-d^2-x^2}{2(a-d)}):-\sqrt{a^2-d^2}\leq x\leq\sqrt {a^2-d^2}\}\cup\{(x,\frac{x^2-a^2+d^2}{2(a+d)}):-\sqrt{a^2-d^2}\leq x\leq\sqrt{a^2-d^2}\}$

olarak yazılabilir.

Edit: "döğru"  yazmışım, düzelttim.