Question

Bir topolojik grubun değişmeli altgrubunun kapanışının da değişmeli olduğunu nasıl gösterebilirim?

Comments

carpmanin surekli olusundan.

Answer 1

Burada grubun topolojisinin "iyi" olduğu varsayımına gereksinim var. Aksi halde doğru değil.

$H\subseteq G$ değişmeli altgrup olsun. $G\times G\rightarrow G,\ \ (x,y)\mapsto xyx^{-1}y^{-1}$ in sürekli ve $\overline{H\times H}=\bar{H}\times\bar{H}$ olduğunu kullanın. (Sürekli dönüşümlerin bir özelliğine de gereksinim de var)

Comments

Sanirim topolojinin $T_1$ olmasini istiyoruz.

---

Hocam, topolojik grubun topolojisinin "iyi" olması ile neyi kastediyoruz?

---

$G$ değişmeli olmayan bir grup ve $G$ nin topolojisi aşikar (ayrık olmayan= indiscrete) topoloji $H=\{e\}$ olsun. $\bar{H}=G$ olduğundan iddia yanlış oluyor. O nedenle, topoloji için bir koşul eklemek gerekli. Aslında benim aklıma gelen, ipuçlarının verdiğim yolda devam edilirse, kendiliğinden gereken koşul ortaya çıkıyor.

---

Hocam, cevabınız için çok teşekkür ederim. 

 Verdiğiniz ipuçlarını kullanarak

$\{ xyx^{-1}y^{-1}:x,y\in \bar{H} \} \subseteq \overline  {\{xyx^{-1}y^{-1}:x,y \in H\} }= \overline {\{e\}}$

ifadesini elde ettim. Buradan  $G$ nin değişmeli bir $H$ altgrubunun kapanışının değişmeli olduğunu göstermek için $\overline {\{e\}}$ nin değişmeli olduğunu göstermenin yeterli olduğu sonucuna vardım. Buradan sonra nasıl devam edebilirim hocam?

---

Eğer $\overline{\{e\}}=\{e\}$ ise istenen elde edilir, aksi halde pek şansımız yok. (Topolojik grup tanımında, topoloji için bir koşul varsa  bu eşitliği göstermeye çalış, yoksa bunu garanti edecek bir koşul varsaymak gerekiyor, çünki $G$ nin topolojisi ayrık olmayan (indiscete) topoloji ise $\overline{\{e\}}=G$ olur, bununla istediğimizi ispatlamak imkansız, çünki $G$ değişmeli olmayabilir.

---

Hocam, cevabınız için çok teşekkür ediyorum. Ben de $\overline {\{e \} }=\{e\}$ olasılığını düşündüm. Buradan $G$ Hausdorff geliyor. Bununla birlikte yukarıdaki altküme ilişkisinden farklı olasılıklar olabilir diye de düşündüm ama $\overline {\{e\}}$ değişmeli olacak şekilde $\overline {\{e \} }=\{e\}$ dışında başka hangi olasılık olabileceği hakkında bir yorum yapamadım. Ayrıca sizin de yazdığınız  gibi $G$ değişmeli olmayan bir grup ise $\overline {\{e \} }\neq G$ olmalı.