Mertebesi $pm$ olan ($m < p$) bir grubun mertebesi $p$ olan karakteristik bir altgrubunun varligi.

Question

$p$ bir asal sayi ve $m < p$ ise mertebesi $pm$ olan bir grubun mertebesi $p$ olan karakteristik bir altgrubunun oldugunu Sylow teoremini kullanmadan gosteriniz.

Comments

mertebesi $p$ olan bir grup oldugunu bilip de mi baslayacaz ispata, yoksa onu da mi gosterecez?

---

Cauchy teoremini kullanmak serbest :-)

Answer 1

$\mid G\mid=pm$  olsun. Cauchy teoreminden $G$ de mertebesi $p$ olan bir eleman yani; bir altgrup vardır. Bu altgruba $H$ diyelim. $H$ nın $G$ deki sol kosetlerinin kümesi $L$ olsun. Yani; $L=\{aH \mid a\in G\}$. $\mid L \mid =[G:H]=\frac{\mid G\mid}{\mid H\mid}=\frac{pm}{p}=m$ olur. $G$ nin $L$ üzerindeki sol etkisini $\bullet : G\times L\rightarrow L$, $g(aH)=(ga)H$ ile tanımladığımızda $L$ bir $G-$kümedir. Bu sol etki $\phi: G\rightarrow A(L)$; $\phi(g)=\sigma_{g}$ ile tanımlı bir homomorfizma oluşturur. Burada $\forall aH\in L$ ve $g\in G$ için $\sigma_{g}(aH)=(ga)H$ ile verilir. (Bunu kolayca görebilirsiniz. $A(L)$ ; $L$ nin bütün permütasyonlarının grubudur).

Ayrıca $\ker\phi\subseteq H$ ve $\mid H\mid=p$ olduğundan $ker \phi=\{e\}$ veya $ker\phi=H$ olur.

Eğer $ker\phi=\{e\}$ ise $\phi$ bir izomorfizma olup $G$ grubu $A(L)$ nin bir altgrubuna izomorf olur. Bu ise $\mid G\mid |\mid A(L)\mid$. Yani $pm|m!$ olmasıdır. Buradan $p|(m-1)!$ elde edilir ki; $p>m$ olduğundan çelişkidir. Böylece $ker\phi=H$ olup $H\trianglelefteq G$ ve yukarıda verdiğiniz linkten gerisi gelir.

Comments

Hocam cozumunuzde $H$'nin $G$ icinde normal oldugunu gosteriyorsunuz ($H$, $H$'nin $G$ icindeki 'normal core'una esit olmak zorunda). Ancak daha sonra $H$'nin neden karakteristik olmasi gerektigini linkteki ozelligi kullanarak ben goremiyorum.

---

Yani $H$ mertebesi $p$ olan tek altgrup. Otomorfizma Altında ise grubun Görüntüsü ya $\{e\}$ yada $H$ kendisi.