$\lim\limits_{x\to a}\left(\lim\limits_{y\to b}f(x,y)\right)=\lim\limits_{y\to b}\left(\lim\limits_{x\to a}f(x,y)\right)$ esitliginin saglandigi durumlar

Question

Hangi sartlar altinda $\lim\limits_{x\to a}\left(\lim\limits_{y\to b}f(x,y)\right)=\lim\limits_{y\to b}\left(\lim\limits_{x\to a}f(x,y)\right)$  esit olur?

Her zaman degismeli olmadigina ornek: $$\lim\limits_{x\to0}\left(\lim\limits_{y \to 0}\frac{x-y}{x+y}\right)=\lim\limits_{x\to0}1=1$$ ve $$\lim\limits_{y\to0}\left(\lim\limits_{x \to 0}\frac{x-y}{x+y}\right)=\lim\limits_{x\to0}-1=-1$$ oldugundan limitlerin yerlerini her zaman degistiremeyiz.


Ilgili soru: link.

Answer 1

$f(x,y) : \mathbb{R^2} \rightarrow \mathbb{R^2}$ bir fonksiyonsa ve eğer $x$  $x_0$'a ve $y$ $y_0$ giderken yani $(x,y)$, $(x_0,y_0)$ a giderken $f(x,y)$ fonksiyonun limiti varsa(bunu iki boyutta yakınsak bir fonksiyon olarak düşünebiliriz sanıyorum.) $f(x,y)$ e yakınsak diyelim. Yani $|f(x,y) -L| < \epsilon$ olan bir $L$ varsa.

Şimdi eğer $f(x,y)$ fonksiyonu yakınsaksa $\underset{x\rightarrow x_0}{lim} \{\underset{y\rightarrow y_0}{lim} f(x,y)\}$ = $\underset{y\rightarrow y_0}{lim} \{\underset{x\rightarrow x_0}{lim} f(x,y)\}$ eşitliği geçerlidir. Dolayısıyla verdiğiniz örnekte bu iki limit eşit olmadığından $f(x,y)$ 'nin limiti yoktur.

Ayrıca sadece ikinci eşitliğin sağlanması da $f(x,y)$'nin limiti olmasını garanti etmez.

Comments

Soru $\mathbb R^2$ uzerinde limitin olmasi ile ilgili degil. Limitlerin ne zaman yer degistirebilecegimi ile ilgili.

Sorudaki ilgili linkteki gibi.

---

Tamam işte, $\underset{(x,y)\rightarrow (x_0,y_0)}{lim} f(x,y)$ limiti varsa yer değiştirebiliriz. Aksi takdirde değiştiremeyiz.

Nitekim verdiğiniz örnekte bu limit var değil. Linkteki limiti incelemem lazım.

---

Limit varsa evet saglanir ama yoksa saglanmayacak diye bir sey yok. 

Esitlik olmadigi zaman zaten limit olmaz, o kisim dogru.

"Fakat limit varsa degisir" bu sarti sagliyor. En genis kapsamindan. Daha da daraltmamiz mumkun mu? Bu cevapla ilgili siradaki soru bu.

---

Bu limitin olmadigi ve esitligin yine saglandigi bir ornek de bulmaya calisalim.(bulamayacagiz gibi geliyor.)

---

$(x,y)=(0,0)$ icin eksen dogrulari uzeride limit alacagiz. Diger yaklasim kismini da abidik gubik doldurursak?

---

Anlamadım, limit nasıl olmuyor ve nasıl değişmeli oluyor

---

Burada sadece iki yonden sirali yaklasim var. Bunlar tutarken diger yonlerdeki yaklasimlar tutmayabilir, demek istedigim bu. Yani sonsuz yaklasimdan sadece ikisinin esit olmasina denk gelmesi.. tabi ki genel olarak mumkun olabilecek yerler vardir. Peki burada olacagini neden dusunuyorsun? Bunun icin boyle bir ters ornegi nasil olusturabilecegimizden bahsettim.

---

Bu iki yondem yaklastigimizda limit olmayabilir, ancak tam da bu durumda degismeli olmayacagini dusunuyorum. Belki biraz kurcalasak aksi ornek bulabiliriz ama

---

Bunu buraya ekleyeyim: link.