Question

$\displaystyle\lim\limits_{x\to \infty } \left( 29^{x}+31^{x}\right) ^{1/x} = ?$

$\infty ^ 0 $ elde ettikten sonra bu limitin sonucu $L$ olsun dedim. $L =\displaystyle\lim\limits_{x\to \infty } \left( 29^{x}+31^{x}\right) ^{1/x} = ?$

$lnL=\displaystyle\lim\limits_{x\to \infty } \dfrac{1}{x} ln(\left( 29^{x}+31^{x}\right))  = \displaystyle\lim\limits_{x\to \infty } \dfrac {ln(\left( 29^{x}+31^{x}\right))}{x}$ şimdi L'hospital kullanabilirim. $\displaystyle\lim\limits_{x\to \infty } \dfrac{29^x . ln29 +31^x.ln31}{ln(\left( 29^{x}+31^{x}\right))}$ oluyor. Sonsuz defa türev alamayacağıma göre ne yapmalıyım?

Comments

L'hospital uygulamadan önceki son ifadeden devam ediyorum,

$\ln{L}=\lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{\ln{\left(29^x+31^x\right )}}{x}=\lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{\ln{\left(\dfrac{29^x}{31^x}+1\right )}+\ln\left(31^x\right)}{x}=\lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{\ln{\left(\dfrac{29^x}{31^x}+1\right )}+x\ln\left(31\right)}{x}=\ln\left(31\right)+\lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{\ln{\left(\dfrac{29^x}{31^x}+1\right )}}{x}$ olur. $\dfrac{29}{31}<1$ olduğundan logaritmanın içerisi $\ln{1}=0$'a yakınsar ve kalan limit $0$ olur. $\ln{L}=\ln{31}$ olduğundan $L=31$ olur.

---

düzenleme yaptım, yazım hatası yok fakat "olur" kelimesi yanlış yerde görüntüleniyor ama anlaşıldığını düşündüğümden böyle bırakıyorum.

---

Diğer bir yol ise bu ifade ( bir yerden sonra (x>1) ) $31$ ile $31\cdot 2^{1/x}$ arasında olur.

---

Bence daha kısa olacak şekilde, ln'in içini $31^x$ çarp bölünce direk limitin sonucu $ln(31)$ çıkıyor

---

Metin senin dediğini yapmış gibi.