$\mathbb{Z}[x]$ üzerine indirgenemez, $\mathbb{Q}[x]$ üzerine indirgenebilir bir polinom var mıdır?

Question

Katsayıları $\mathbb{Z}$'den olan böyle bir polinom var mıdır?

Answer 1

Yoktur. Bu, (daha genel bir şekli ile)  Gauss un ünlü bir teoremidir (Gauss's Lemma). Pek çok cebir kitabında bulunabilir.  Burası ispat için biraz dar.

Comments

Yukarıda vermiş olduğunuz açıklama sabit olmayan primitif polinomlar için doğrudur.

Answer 2

soru.pdf (42 kb)

Download the PDF: soru.pdf

Comments

Hocam $2$ birim eleman olduğu için indingenmezligi bozmaz, asallıgı da. $u(x+a)$'ların hepsi indirgenemezdir.

---

Sercan bey indirgenmezlik tanımında bir anlaşmazlığımız var sanırım. Tanımı pdf dosyasınada yazmıştım. Bu tanım polinom halkaları içinde geçerli bir tanımdır. Yani derecesi 1 olan polinomlar; halka ne olursa olsun indirgenmezdir diye bir durum yok.

---

ben $\mathbb{Q}$'dan bahsetmistim hocam zaten. Bendeki tanim: kendisini birim eleman ve kendisinin birim elemanlarla carpimlari haric hic bir eleman bolmuyorsa, indirgenemezdir. O halde $2x+2$ polinomu $\mathbb{Q}$'da indirgenemez.  Burda bir hata varsa ogrenmek isterim, indirgenmizligi yanlis biliyorsam, ya da baska bir tanimi varsa onu da ogrenmek isterim.

---

Sercan bey tekrar merhaba. Doğru söylüyorsunuz. $f(x)\in \Bbb{Z}[x]$ polinomu indirgenir. pdf dosyasında $\Bbb{Q}[x]$ de indirgenir yazmışım. Aslında $2x+2$ polinomu $\Bbb{Q}$ da indirgenmezdir.  Teşekkürler Doğan bey

---

Galiba verdiğiniz $2x+2$ polinomu örneğinde  bir yazım hatası olmuş. Sizin de belirttiğiniz, indirgenemez olma tanımına göre: $2x+2=2(x+1)$ ve ne 2 ne de $x+1$ ($\mathbb{Z}[x]$ de) tersinir olmadığından, $2x+2,\ \ \mathbb{Z}[x]$ de indirgenebilirdir. 

$\mathbb{Q}[x]$ de  çarpanlara ayrıldığında ise (biri sabit diğeri 1. derece olur) sabit çarpan 0 olmayacağı için tersinir olur, dolayısıyla, $2x+2,\ \mathbb{Q}[x]$ de indirgenemezdir.