Question

$\mathbb{Z}\subset A\subset \mathbb{Q}$ koşulunu sağlayan $A$ ara halkaları nelerdir?

Answer 1

$a, b \in \mathbb{N}$ aralarında asal olmak üzere $a/b \in A \setminus \mathbb{Z}$ olsun. Demek ki $b \neq 1$. İlk amacımız $1/b \in A$ içindeliğini kanıtlamak. Bézout teoremini kullanarak, $ua+bv=1$ eşitliğini saplayan $u$ ve $v$ sayılarını bulalım. Buradan $1/b = (ua+bv)/b = ua/b + v \in A$ bulunur.

Şimdi $S = \{b \in \mathbb{N} : 1/b \in A\}$ olsun. $S$ çarpma altında kapalıdır ve 1'i içerir. Bir önceki notta Doğan Dönmez hocamızın yazdığı gibi $A = \{a/b : a\in \mathbb{Z}, b \in S\}$ olur.

Answer 2

$S=\{n\in\mathbb{Z}\setminus\{ \pm1 \}:n,\ A \textrm{ da tersinirdir}\}$ olsun.

$S=\emptyset$ ise $A=\mathbb{Z}$ olduğu görülür.

$S\neq\emptyset$ ise $S$ çarpma altında kapalıdır (kolay) ve $A=S^{-1}\mathbb{Z}$ (lokalizasyon) olduğu gösterilebilir.

Answer 3

Benim çözümümdeki eksikleri Ali Nesin hocamız düzeltmiş. Ben bu sorunun aslında daha genel olarak da sorulup benzer şekilde cevaplanacağını eklemek istiyorum:

$R$ bir tamlık bölgesi (birim elemanlı, değişmeli ,sıfır bölensiz halka :Integral Domain) olsun. $F$ de, $R$ nin bölüm cismi olsun. O zaman $R\subseteq F$ olur ve

$R\subset A\subset F$ şeklindeki $A$ halkaları nasıldır?
sorusunun da yanıtı (eğer $R$ esas ideal bölgesi ise) benzer olur. Değilse biraz daha zor olur herhalde.