$\mathbb{Z}[x]$ de halkalardaki tanımı ile indirgenebilir ama polinomlardaki tanımı ile indirgenemez bir eleman var mıdır?

Question

Tamlık bölgelerinde indirgenemez eleman:

0 veya birimsel (tersinir) olmayan ve ikisi de  birimsel olmayan elemanların çarpımı şeklinde yazılamayan eleman olarak tanımlanır.

İndirgenemez polinom ise sabit olmayan ve daha küçük dereceli iki polinomun çarpımı olarak yazılamayan polinom olarak tanımlanır.

Demek ki $\mathbb{Z}[x]$ de (ve $R$ bir tamlık bölgesi olmak üzere $R[x]$ de) iki farklı indirgenemezlik tanımı var. 

$\mathbb{Z}[x]$ de birinci tanıma göre indirgenebilir ama ikinci tanıma göre indirgenemez (veya tersi) bir eleman var mıdır? Yani bu iki tanım eşdeğer midir?

(Ama, $F$ bir cisim ise, $F[x]$  halkasında bu iki tanım eşdeğer oluyor)

(http://matkafasi.com/62/uzerine-indirgenemez-mathbb-uzerine-indirgenebilir-polinom sorusuna verilen bir cevap ve ona yapılan bir yorum ile de ilgili)

Comments

Polinomlardaki tanımı kesin öyle mi? :)

---

Katsayılar bir cisimde olduğunda yapılan bu tanım, bazan değiştirmeden,  katsayıları bir halkadan seçilen polinom halkalarında da kullanılıyor. Bu şekilde (2. tanım) tanımlarsak iki indirgenemezlik tanımının (biraz) farklı olduğunu vurgulamak istedim.

Answer 1

Halkalarda $2x=2\cdot x$ olarak iki ayrı indirgenemez elemanın çarpımı olarak yazılabilir.

Polinom olarak ise derecenin (dahil olmayarak) 0 ile 1 arasında olması imkansız.