İndirgenemez eleman ile ilgili bir soru

Question

D bir tamlık bölgesi olsun.D nin sıfırdan farklı her elemanı indirgenemez ise D nin cisim olduğunu gösteriniz?                                                                               Öncelikle benden istenen D nin cisim olduğunu göstermek ve aynı zamanda D bir tamlık bölgesi olduğu verilmiş o halde D nin sıfırdan farklı her elemanının tersinir olduğu göstermek yeterlidir.$a\in\mathbb{D}$ ve a indirgenemez eleman olsun Dedim buradan a indirgenemez eleman olduğundan $b,c\in\mathbb{D}$ olmak üzere a=b.c iken ya  c tersinir ya da b tersinirdir.   Buradan sonra b tersinir olsun c tersinir olmasın dedim  b nin tersi ile eşitliği çarptım falan ama bir Bir yere ulaşamadım?

Comments

$a\in D,\ a\neq0$ olsun.

$a^2\neq0$ olduğuna göre....

---

Aynı yöntem,

http://matkafasi.com/119966/tamlik-bolgesi-ideali-asal-ideal-cisim-oldugunu-gosteriniz?show=119966#q119966

sorunda da işe yarayabilir mi?

---

Diğer sorumda Evet hocam işimize yarar asal ideallikten söylenir burada a indirgenemez eleman olduğu için tersinir değil olmuyor mu hocam bu şekilde buradan a nın tersinir olduğunu söylemek nasıl olacak ki?

---

Bu sorunun ifadesi biraz problemli.

Nedeni: indirgenemezlik tanımında (genellikle) "tersi olmamak" koşulu da vardır. 

(Bu nedenle, tersi olan elemanlara indirgenemez demeyiz.)

(başka deyişle, indirgenemez olmak, "indirgenebilir olmamak" değil)

Burada ise indirgenemez elemanın (0 dan farklı her elemanın) tersinin var olduğu gösterilmek isteniyor.

Soru şöyle ifade edilseydi daha iyi olurdu:

Bir tamlık bölgesinde indirgenebilir eleman yok ise, o tamlık bölgesi bir cisimdir.

Bu şekli ile iddiayı (yanlış olması durumunda bir çelişki elde ederek) ispatlamayı bir dener misin.

---

O halde indirgenemez olmak indirgenebilir olmamak değil ise Hocam indirgenebilir tanımını Merak ettim.i

---

http://matkafasi.com/120106/halkalardaki-indirgenebilir-polinomlardaki-indirgenemez

da (sorunun içinde) yazmıştım.

---

Siz orada indirgenemez eleman tanımı yapmışsınız hocam benim kafama takılan soru şudur indirgenemez olmak indirgenebilir olmamak değil ise indirgenebilir olmak indirgenemez olmamak değildir o zaman bu soruda cisim olmasın diyip sonra da sıfırdan farklı bir eleman alıp o elemanı ,  tersinir olmayan iki elemanın çarpımı olarak gösterdiğim de indirgenebilir eleman diyip indirgenebilir eleman yoktu çelişki deme lüksüm yok o zaman çünkü indirgenemez olmamak indirgenebilir olmamak değildir dediğimiz için yani benim kafam karıştı yani hocam size zahmet çözseniz 

---

Haklısın. Ben ,o soruda, sadece indirgenemez tanımını yazmışım.

İndirgenebilir tanımı şöyle yapılabilir: 0, birim (=tersinir) ve indirgenemez olmayan eleman.

(Eşdeğer olarak, "indirgenemez" terimini kullanmadan): 0 dan farklı ve iki tersinir olmayan elemanın çarpımı olarak yazılabilen (tersi olmayacağını gösterebilirsin.))

Ben soruyu (kendimce) indirgenebilir terimini kullanmadan yeniden yazdım. 

O şekli ile iddiayı ispatlamak zor değil.

---

Varsayalım ki $D$ cisim olmasın ve $a\in\ D$ ,$a\neq0$ olmak üzere: 

$a\in\ <a>\Rightarrow$ $a=a.x    ,     x\in\ D $ vardır O halde a elamanı iki tersinir olmayan elemanın çarpımı olarak yazılabildiğinden indirgenebilir bir elemandır çelişki diyebilir miyiz hocam

---

$x$ in tersinir olmadığını nereden biliyoruz?

---

Aynen hocam dün farkettim yazdıktan sonra onun D olması D nin cisim olmaması da x in tersinir olmadığını söylemez bize 

---

Bence tanımlara bu kadar takılmaya gerek yok bu problemde.

Benim verdiğim ipucu ile (veya senin aklına gelen yol ile) bir şey yapmaya çalış.