$F$ cisim ise $F[X]$ bir cisim midir?

Question

$F[X]$ polinomlar halkasının cisim olabilmesi için birimli, değişmeli ve $F[X]^*$ tersiner olmalı. 1 sabit polinomunun birim eleman olduğu ve polinomların 2. işleme göre abelyen (değişmeli) olduğu açıktır. Ancak $F[X]^*$ tersinerleri yalnızca bazı basit polinomlar ile derecesi 0 olan polinomlardır. Yanı her polinomun tersi yoktur. O halde $F[X]^*$ için 0'dan farklı her elemanın tersi vardır diyemeyiz. Bu sebeple $F$ cisim iken $F[X]$ cisim değildir.

Burada sorum şu; her polinomun tersi olmadığını göstermek için şunu yapıyorum:

polinom halkası tanımından polinomların

$f(X) = \sum a_iX^i$ ile ifade edildiğini biliyoruz. Burada $i$ 0'dan sonsuza alındığından x'li terimlerin 0'dan küçük bir kuvveti olamayacağı açıktır. Ancak bir polinomun çarpma işlemine göre tersi alındığında negatif kuvvetli bir x'li terim bulunabilir ki bu polinom belirtmeyeceğinden 2. işleme göre ters eleman olamaz. Örneğin $x^2$nin tersi $1/x^2$ olamaz çünkü $x^-2\notin F[X]$

O halde $H$ birimli ve değişmeli halka iken $H[X]$ de birimli, değişmeli halkadır ancak $H$ yerine $F$ cismi alındığında $F$ cisim iken $F[X]$ cisim değildir diyebiliriz.

Soruma dönüyorum; bu açıklamada eksik veya hatalı bir kısım var mı? Her polinomun tersinin olmadığını göstermek için birebir ve örtenlikten mi yararlanmalıyım yoksa bu açıklama doğru ve yeterli midir?

Comments

Karşı örnek vermen yeterli dedigin gibi. $F[x]$ bir cisim olsaydı $x^2\neq 0$ olduğu için tersini olmalıydı $F[x]$ içinde. $x^2$'nin tersine $g(x)=\sum_i a_i x^i$ polinomu olsun. $x^2 g(x)=x^2 \left(a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3+\cdots + a_n x^n\right)=1$ olmalıydı ama soldaki polinomların çarpımı ne zaman $1$ olur? Sol tarafın derecesi herzaman ya 0 ya da en az 2 olabilir ama sağ taraftaki 1'in derecesi 0.

---

Arada yanlış söylediğin bir şey var. Polinomları tanımlarken "$i$'yi $0$'dan sonsuza" almıyoruz. Polinomlar sonlu toplamlar.

Bu önemli çünkü eğer sonsuz toplamlara izin verirsek değişik şeyler olabiliyor. Mesela $1-x$'in tersi olabiliyor. Çünkü

$$\frac{1}{1-x}= \sum_{i = 0}^\infty x^i$$

Polinomların sonlu dereceleri var ve Anıl'ın dediği gibi bunu kullanman (ya da benzer bir sonluluk argümanını) lazım.

---

Evet doğru bunu düşünmedim. Yani $i$ 0'dan n'ye kadar alındığında gösterim doğru ve yeterlidir diyebilir miyiz? ($n\in \mathbb{Z^+}$)

---

@Ozgur sonsuz toplamlara izin verince de (formal seriler), cisim olmuyor sanki?
Bir de diyebiliyormuyuz ya oyle sonsuz toplam olunca aa bak bu yakinsiyor falan diye. Yani sonlu bir cisimde yazdigim sonsuz toplamlarin yakinsadigi yer (yada yakinsamanin ne demek oldugu) cok acik degil gibi

---

@aysevarlik yes.

@eloi bunlar "formal power series" - ve evet bu da cisim değil. Ama daha çok elemanın tersi var.

---

@Ozgur aah tamam kafam karismis, formal serilerin bunu sagladigini unutmusum

Neyse bu gece Wikipedia okumasi sonucunda ogrendiklerim

1. $K$ uzerine formal serilerin olusturdugu halka $K[[X]]$ diye gosteriliyormus.
2. $K$ uzerine formal serilere benzeri sekilde Laurent serileri kurabiliyormusuz. Formal serilerden farki sonlu sayida negatif usse sahip olmasi, yani elemanlarin  form su $\sum\limits_{i=N\in \mathbb{Z}}^\infty x^i$.
   $K((X))$ seklinde gosteriliyormus ve $K$ cisim ise $K((X))$ de cisim imis