Metrik Çeşitleri

Question

Tanım 1: $X\neq \emptyset$ herhangi bir küme ve $d:X^2\to\mathbb{R}^{\geq 0}$ fonksiyon olmak üzere

$$d, X\text{'de metrik}:\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{lll} M_1) & d(x,y)=0\Leftrightarrow x=y \\ M_2) & d(x,y)=d(y,x) \\ M_3) & d(x,y)\leq d(x,z)+d(z,y) \end{array}\right.$$

Tanım 2: $X\neq \emptyset$ herhangi bir küme ve $d:X^2\to\mathbb{R}^{\geq 0}$ fonksiyon olmak üzere

$$d, X\text{'de ultrametrik}:\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{lll} M_1) & d(x,y)=0\Leftrightarrow x=y \\ M_2) & d(x,y)=d(y,x) \\M_3) & d(x,y)\leq \max\{d(x,z),d(z,y)\} \end{array}\right.$$

Tanım 3: $X\neq \emptyset$ herhangi bir küme ve $d:X^2\to\mathbb{R}^{\geq 0}$ fonksiyon olmak üzere

$$d, X\text{'de aritmetik metrik}:\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{lll} M_1) & d(x,y)=0\Leftrightarrow x=y \\ M_2) & d(x,y)=d(y,x) \\M_3) & d(x,y)\leq \frac{d(x,z)+d(z,y)}{2} \end{array}\right.$$

Tanım 4: $X\neq \emptyset$ herhangi bir küme ve $d:X^2\to\mathbb{R}^{\geq 0}$ fonksiyon olmak üzere

$$d, X\text{'de geometrik metrik}:\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{lll} M_1) & d(x,y)=0\Leftrightarrow x=y \\ M_2) & d(x,y)=d(y,x) \\ M_3) & d(x,y)\leq \sqrt{d(x,z)\cdot d(z,y)} \end{array}\right.$$

Son iki tanımı ben uydurdum.

Sonuç: $X\neq \emptyset$ herhangi bir küme ve $d:X^2\to \mathbb{R}^{\geq 0}$ fonksiyon olmak üzere

$$d, X\text{'de geometrik metrik}$$

$$\Rightarrow$$

$$d, X\text{'de aritmetik metrik}$$

$$\Rightarrow$$

$$d, X\text{'de ultrametrik}$$

$$\Rightarrow$$

$$d, X\text{'de metrik}$$

Sorum şu:

1) Ultrametrik olup aritmetik metrik olmayan bir fonksiyon var mıdır? Varsa bir örnek veriniz.

2) Aritmetik metrik olup geometrik metrik olmayan bir fonksiyon var mıdır? Varsa bir örnek veriniz.

Son iki tanımda verilen aritmetik metrik uzaylarda ve geometrik metrik uzaylarda ekstra ne gibi özellikler elde edebiliriz?

Comments

Daha onceden uydurulmadigindan emin miyiz :)

---

Ben daha önce hiç rastlamadım. Ancak daha önceden bu tanımlar verildiyse kim tarafından ve ne zaman verildiği hususunda bilgi edinmek isterim.

Answer 1

Aritmetik metrik ancak tek elemanlı küme üzerinde tanımlanabilir. $y=z$ alırsak, ikinci şart gereği  $d(x,y)\leq\frac{d(x,y)+d(y,y)}{2}=\frac{d(x,y)}{2}$ eşitsizliği elde edilir. Buradan da $d(x,y)=0$ çıkar. Yeniden ikinci şık kullanılarak $x=y$ sonucu çıkar.

Benzer nedenlerle, geometrik metrik de ancak tek elemanlı kümelerde anlamlıdır.

Yani, bütün aritmetik metrikler geometrik, bütük geometrik metrikler aritmetik metrik ve ikisi beraberce hem metrik hem de ultrametriktirler. Eğer $X$'de birden fazla eleman varsa hiçbir metrik ya da ultrametrik aritmetik ya da geometrik değildir, zira birden fazla elemanı olan kümelerde yukarıda gösterdiğimiz gibi aritmetik ya da geometrik tanımlanamaz.

Answer 2

aritmetik metrik ultrametrikk.pdf (55 kb)

Download the PDF: aritmetik metrik ultrametrikk.pdf

Answer 3

Beraymatpan'ın cevabını yazıyorum, site kuralları gereği latex ile yazılmalıydı.


$d(x,y)=\{0,x=y;1,x\neq y \}$ kuralı ile verilen $d:R^2\longrightarrow R$

fonksiyonu bir ultrametriktir fakat aritmetik metrik değildir.

$d(x,y)\le\dfrac{d(x,y)+d(z,y)}{2}$  koşulu sağlanmalıdır.Fakat;

$d(1,2)\not\le\dfrac{d(1,1)+d(1,2)}{2}$

$1\not\le\dfrac{0+1}{2}$

$1\not\le\dfrac{1}{2}$