B(a,ϵ)⊆B(y,ϵ) ve B(y,ϵ)⊆B(a,ϵ) olduğunu göstermeliyiz. y∈B(a,ϵ) olsun ve x∈B(a,ϵ) alalım.
y∈B(a,ϵ)⇒d(a,y)<ϵx∈B(a,ϵ)⇒d(x,a)<ϵ}⇒max{d(x,a),d(a,y)}<ϵd, X'de ultrametrik}⇒
⇒d(x,y)≤max{d(x,a),d(a,y)}<ϵ
⇒x∈B(y,ϵ)…(1)
olur. Benzer şekilde B(y,ϵ)⊆B(a,ϵ)…(2) elde edilir. O halde
(1),(2)⇒B(a,ϵ)=B(y,ϵ).