Ultrametrik uzaylarda herhangi bir açık yuvara ait her noktanın o açık yuvarın merkezi olduğunu gösteriniz.

Question

Ultrametrik tanımı bu linkte mevcut. Soruyu biçimsel olarak şöyle de yazabiliriz.

$(X,d)$ ultrametrik uzay olmak üzere

$(\forall a\in X)(\forall\epsilon>0)(y\in B(a,\epsilon)\Rightarrow B(a,\epsilon)=B(y,\epsilon))$

olduğunu gösteriniz.

Answer 1

$$B(a,\epsilon)\subseteq B(y,\epsilon)$$ ve $$B(y,\epsilon)\subseteq B(a,\epsilon)$$ olduğunu göstermeliyiz. $y\in B(a,\epsilon)$ olsun ve $x\in B(a,\epsilon)$ alalım.

$\left.\begin{array}{r}y\in B(a,\epsilon)\Rightarrow d(a,y)<\epsilon \\ \\ x\in B(a,\epsilon)\Rightarrow d(x,a)<\epsilon \end{array}\right\}\Rightarrow \begin{array}{c}\mbox{} \\ \mbox{} \\ \left.\begin{array}{r} \max\{d(x,a),d(a,y)\}<\epsilon \\ \mbox{} \\ d, \ X\text{'de ultrametrik}\end{array}\right\}\Rightarrow \!\!\!\!\!\end{array}$

$\Rightarrow d(x,y)\leq \max\{d(x,a),d(a,y)\}<\epsilon$

$\Rightarrow x\in B(y,\epsilon)\ldots (1)$

olur. Benzer şekilde $$B(y,\epsilon)\subseteq B(a,\epsilon)\ldots (2)$$ elde edilir. O halde

$(1),(2)\Rightarrow B(a,\epsilon)=B(y,\epsilon).$