11 ile bölünebilme kuralı

Question

abcabc 6 basamaklı sayıdır.

abcabc sayısının 11 ile bölümünden kalan kaçtır ?

8  -  6  - 5  - 1  -  0

Comments

Verilen sayının basamaklarına bir artı bir eksi yazıp topladığında $0$ elde edilir ki; bu ise sayınin tam bölünmesi demektir. 

---

Sıfır, 11 in katı mı?

---

Handan teşekkür ederim cevap için fakat 6 basamaklı sayı vermediğinden çözemedim.Bilinmeyenler girince devreye patlıyorum :)

---

$abcabc = abc000+abc  = 1000abc + abc = 1001(abc)$ oldugunu gordukten sonra $1001$'in $11$ ile bolundugunu de kontrol edebilirsin. $1001$, $11$ ile tam bolundugunden; $a, b, c$ rakamlari ne olursa olsun $1001(abc)$ de $11$ ile tam bolunur.

$1001$'in $11$ ile bolundugunu de ya gercekten bolerek kontrol edebilirsin ya da $1001 = 1100 - 99$ oldugunu gozlemleyebilirsin. $1100$ ve $99$ sayilari $11$'e bolundugu icin $1001$ de bolunuyor.

---

bu sorunun cevabını bulmak için sayı verilmesine gerek yok, değer vermeye de gerek yok yukarıda çözüm verilmiş.

Peki neden sırası ile + - vererek 11 e bölünme durumu oluşuyor. Bunu hiç düşündünüz mü? Bu sorum tabiki de bu kuralları yeni öğrenen kişilere.

Answer 1

$11$ ile bölünebilme ya da diğer bazı bölünebilme kuralları nasıl elde edilmektedir?

$a,b\in \Bbb{Z}$ ve $p$ bir asal sayı olmak üzere eğer $a\equiv b (mod p)$ ise $\forall k\in \Bbb{Z}^{+}$ için $a^{k} \equiv b^{k}(mod p)$ şeklindedir.(Bunu görmek zor değil. Şöyle ki; $(a^{k}-b^{k})=(a-b)(a^{k-1}+a^{k-2}b+\ldots+ b^{k-1})$ eşitliğinden hemen çıkmakta.)

Gelelim $11$ ile bölünebilmeye. $10\equiv -1(mod 11)$. Neden $10$ çünkü verilen sayıyı $10$'luk tabana göre açacağız. $n=(a_{m}a_{m-1}\ldots a_{2}a_{1}a_{0})_{10}$ verilsin. Yukarıdaki ifadeden $n=a_{0}10^{0}+a_{1}10^{1}+a_{2}10^{2}+\ldots+ a_{m}10^{m}$ şeklinde açılır. Şimdi $11$ moduna geçelim. $n\equiv a_{0}(-1)^{0}+a_{1}(-1)^{1}+a_{2}(-1)^{2}+\ldots+a_{m}(-1)^{m}$.

Yani böyle. Soruda $acbabc$'nin neden basamaklarını bir artı bir eksi yazıp topladığımız. Sonuç $0$ ve $0=11.0$ olduğundan $11\mid 0$.

Diğer bölünebilme kurallarıda benzer şekilde elde edilmekte.

Comments

ne guzelmis. ben bunu bilmiyordum.

Answer 2

En guzeli bu sayinin $1001\times abc$ oldugunu ve $1001$'in $11$'e bolundgunu gormek. Yorumlarda Ozgur soz etmis. Teknik bir cevabin yaninda bu da cevap olarak dursun burada.