Question

$f(x)=\sin x$ kuralı ile verilen $f:\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]\to \mathbb{R}$ fonksiyonu düzgün türevlenebilir midir?  Yanıtınızı kanıtlayınız.

Düzgün türevlenebilirlik tanımı bu linkte mevcut.

Comments

Kısa bir yanıt şöyle olabilir:

Kapalı bir  $\left[a,b\right]$ aralığında sürekli olan fonksiyonunun düzgün sürekli olduğu (ya da sürekli ve periyodik $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ fonksiyonlarının düzgün sürekli olduğu) iyi bilinir.

$f(x)=-\cos x$ diyelim. $f'(x)=\sin x$ fonksiyonunun $\left[-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right]$ aralığında sürekli olduğu açıktır; dolayısıyla düzgün süreklidir.

$f:I\rightarrow \mathbb{R}$ diferensiyellenebilir bir fonksiyon olsun. $f'(x)$ düzgün sürekli ise  $f(x)$ in düzgün türevlenebilir olduğu gösterilebilir. Buna göre linkte verdiğiniz önermenin çift gerektirme olduğunu düşünüyorum. Dolayısıyla  $f'(x)=\sin x$ fonksiyonu düzgün sürekli olduğundan düzgün türevlenebilirdir.

Answer 1

Önerme. $f:I\rightarrow\mathbb{R}$ diferensiyellenebilir bir fonksiyon olsun. $f'(x)$ düzgün sürekli ise $f(x)$ düzgün türevlenebilirdir.

Kanıt. $f'$ düzgün sürekli olduğundan her $\epsilon\gt0$  ve her $x,a\in I$ için  $|x-a|\lt \delta\Rightarrow$  $|f'(x)-f'(a)|\lt\epsilon$ olacak şekilde bir $\delta\gt 0$ vardır.

Ortalama değer teoreminden öyle bir $x\lt \bar{x}\lt a$ vardır ki  $$\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}=f'(\bar{x})$$   olur.

O zaman herhangi bir $x$ ve $|x-a|\lt \delta$ için   $|\bar{x}-x|\lt \delta$   ve buradan $$\left|\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}-f'(x)\right|=|f'(\bar{x})-f'(x)|\lt\epsilon$$ elde edilir.