Limit Sorusu

Question

$$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin x - xcosx}{x-sinx}$$

Bu limitin L'hospital ve seri açılımı kullanmadan bir çözümünü arıyorum. 

Comments

Her limitin L'Hospitalsiz çözümü yoktur.

---

Bildiğin bir yöntem varsa paylaşabilirsin. Cevap 2.

L'Hospital  ile çözüm:

Pay ve paydanın türevi  3 kere alınırsa

=$\frac{cosx-(cosx-xsinx)}{1-cosx}$

$=\frac{xsinx}{1-cosx}$

$=\frac{sinx + x cos x}{sin x}$

$=\frac{cos x +(cos x - x sin x)} {cos x}$

x yerine 0 konursa

$=\frac{1+(1-0)}{1}=2$ bulunur.

---

<p> Yok malesef. 
</p>

---

Bunu düzenleden yoruma çevirebilirsin. Yöntem var. Sen l'hospital ile çözümünü ekle ben de temel yöntemli, olur mu?

---

Evet, ger soru için öyle bir çözüm olmayabilir. Bunun iki sebebi olabilir: biz l'hopital olmayan bir yöntem bulamayız ya da l'hopitalden daha temel bir yöntem olamayacağını ispatlarız. Daha elementer yöntemler istemeyi doğal ve güzel buluyorum.

---

<p> L'Hospital ile çözüm:
</p>
 
<p>
      $$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{sinx - xcosx}{x-sinx}$$ = $$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{cos x - (cosx-xsinx) }{1-cosx}$$ =  $$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{xsinx }{1-cosx}$$ = $$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{(1+cosx)(xsinx)}{sinx.sinx}$$ = 2
</p>

---

Bunun altina cevap iken yorum yapmistim fakat arada buraya tasindigindan gozukmuyor galiba. Gitti mi onca yazdigim?

---

Çözüm mü yapmıştınız? 

---

Evet. Sonra tekrar yazarim.

---

<p> Tamam bekliyorum. 
</p>

---

Su an cevabi yaziyorm ama biraz uzun surecek, ek aciklamalarla. Yolda geliyor...

Answer 1

Ilk olarak $+1-1$ ekleyelim. Bunu $x$ parantezine alabilmek icin yapiyorum.  Bu durumda limitimiz $$\lim\limits_{x\to 0}\bigg[\frac{x(1-\cos x)}{x-\sin x}-1\bigg]$$ olur. Simdi $\cos x=1-2\sin(x/2)^2$ oldugunu kullanirsak limitimiz $$\lim\limits_{x\to 0}\bigg[\frac{2x\sin^2(x/2)^3}{x-\sin x}-1\bigg]$$ olur. Simdi ust taraf $\sin (x/2)$ ve $x$'den olustugundan $$\lim\limits_{x\to 0}\frac{2x\sin^2(x/2)}{x^3}=\frac12$$ olacagini gormek zor degil. Bu nedenle $$\lim\limits_{x\to 0}\frac{x-\sin x}{x^3}$$ limitini hesaplarsak cozumu elde ederiz. 

1) Su an icin $x>0$ kabul edelim $x<tanx$ olur. Bu nedenle $$0<\frac{x-\sin x}{x^2}<\frac{\tan x-\sin x}{x^2}=tanx\cdot\frac{1-\cos x}{x^2}=\frac{\tan x}{2}\big(\frac{\sin (x/2)}{x/2}\big)^2$$ olur. Burada $f(x)=\frac{x-\sin x}{x^2}$ olarak tanimlayalim ve $f(0)=0$ olsun. Bu surekli bir fonksiyon (yukaridaki limitten dolayi) ve artik bulmamiz gereken $f'(0)$. Bu nedenle $$\lim\limits_{x\to 0}f'(x)$$ limitini inceleyelim. Bu durumda $$\lim_{x\to 0}(\frac{1-\cos x}{x^2}-2\frac{x-\sin x}{x^3})$$ olur. Ilk kismi daha onceden bulmustuk, yani nasil bulacagimiz yukarida mevcut, limiti $1/2$. Ikinci kisim bizim bulmak istedigimiz limit, buna $L$ diyelim.  Bu durumda $$L=\frac12-2L$$ olur, yani $$L=\frac16$$ olur. 

Tabi burda bir kabulumuz oldu, o kabulu gostermedigimiz icin ispat puruzlu/hatali. Bu puruz nedir? Bu nedenle yeni bir cozum yontemi yazacagim ve sonunda aslinda bu puruzun puruz olmadigini gorecegiz ama bu haliyle eksik ya da hatali denilebilecek bir ispat.

2) Bulmak istedigimiz limiti hatirlayalim: $$\lim\limits_{x\to 0}\frac{x-\sin x}{x^3}.$$  Gelelim kolay fakat karisik islemlere. $$\lim_{x\to0}\frac{\sin x-x}{x^3}=\lim_{x\to0}\frac{\sin 2x-2x}{8x^3}=\lim_{x\to0}\frac14\frac{\frac12\sin 2x-x}{x^3}\\=\lim_{x\to0}\frac13\frac{\frac12\sin 2x-\sin x}{x^3}=\lim_{x\to0}\frac13\frac{\cos x-1}{x^2}\frac{\sin x}x$$ artik bu limitleri nasil bulabilecegimizi biliyoruz ve limit sonucumuz $$\frac16$$ geliyor. Genel sonuc da $$(1/2)/(1/6)-1=2$$ geliyor.


Simdi esitliklerin gecisini aciklayayim biraz:
- ilk esitlik $x \to 2x$ degisimi. Bunu $x$'i ikinci asama ile yoketmek icin yaptim.
- ikinci esitlik icin sadece $1/4$'u disari atip payi ve paydayi $2$'ye bolduk.
- ucuncu esitlik icin esittirin sol tarafini $4$ ile carparsak limitimizin (var ise) dort katini buluruz, bundan $L$ cikartirsak, bu $L$ de ilk baslangic $L$'miz, $3L$ elde ederiz, bu nedenle $1/3$ katsayisi var.
- dorduncu esitlikte ise payi $\sin x$ parantezine aliyoruz.

Comments

<p> Çözümünüz için çok teşekkür ederim. x \rightarrow 2x değişimini yaparken limitteki x'in değişmesi gerekmez mi? 
</p>

---

Evet, $x$ yerine $2x$ yazdik, degisti yani.

---

güzel çözüm