Ilk olarak $+1-1$ ekleyelim. Bunu $x$ parantezine alabilmek icin yapiyorum. Bu durumda limitimiz $$\lim\limits_{x\to 0}\bigg[\frac{x(1-\cos x)}{x-\sin x}-1\bigg]$$ olur. Simdi $\cos x=1-2\sin(x/2)^2$ oldugunu kullanirsak limitimiz $$\lim\limits_{x\to 0}\bigg[\frac{2x\sin^2(x/2)^3}{x-\sin x}-1\bigg]$$ olur. Simdi ust taraf $\sin (x/2)$ ve $x$'den olustugundan $$\lim\limits_{x\to 0}\frac{2x\sin^2(x/2)}{x^3}=\frac12$$ olacagini gormek zor degil. Bu nedenle $$\lim\limits_{x\to 0}\frac{x-\sin x}{x^3}$$ limitini hesaplarsak cozumu elde ederiz.
1) Su an icin $x>0$ kabul edelim $x<tanx$ olur. Bu nedenle $$0<\frac{x-\sin x}{x^2}<\frac{\tan x-\sin x}{x^2}=tanx\cdot\frac{1-\cos x}{x^2}=\frac{\tan x}{2}\big(\frac{\sin (x/2)}{x/2}\big)^2$$ olur. Burada $f(x)=\frac{x-\sin x}{x^2}$ olarak tanimlayalim ve $f(0)=0$ olsun. Bu surekli bir fonksiyon (yukaridaki limitten dolayi) ve artik bulmamiz gereken $f'(0)$. Bu nedenle $$\lim\limits_{x\to 0}f'(x)$$ limitini inceleyelim. Bu durumda $$\lim_{x\to 0}(\frac{1-\cos x}{x^2}-2\frac{x-\sin x}{x^3})$$ olur. Ilk kismi daha onceden bulmustuk, yani nasil bulacagimiz yukarida mevcut, limiti $1/2$. Ikinci kisim bizim bulmak istedigimiz limit, buna $L$ diyelim. Bu durumda $$L=\frac12-2L$$ olur, yani $$L=\frac16$$ olur.
Tabi burda bir kabulumuz oldu, o kabulu gostermedigimiz icin ispat puruzlu/hatali. Bu puruz nedir? Bu nedenle yeni bir cozum yontemi yazacagim ve sonunda aslinda bu puruzun puruz olmadigini gorecegiz ama bu haliyle eksik ya da hatali denilebilecek bir ispat.
2) Bulmak istedigimiz limiti hatirlayalim: $$\lim\limits_{x\to 0}\frac{x-\sin x}{x^3}.$$ Gelelim kolay fakat karisik islemlere. $$\lim_{x\to0}\frac{\sin x-x}{x^3}=\lim_{x\to0}\frac{\sin 2x-2x}{8x^3}=\lim_{x\to0}\frac14\frac{\frac12\sin 2x-x}{x^3}\\=\lim_{x\to0}\frac13\frac{\frac12\sin 2x-\sin x}{x^3}=\lim_{x\to0}\frac13\frac{\cos x-1}{x^2}\frac{\sin x}x$$ artik bu limitleri nasil bulabilecegimizi biliyoruz ve limit sonucumuz $$\frac16$$ geliyor. Genel sonuc da $$(1/2)/(1/6)-1=2$$ geliyor.
Simdi esitliklerin gecisini aciklayayim biraz:
- ilk esitlik $x \to 2x$ degisimi. Bunu $x$'i ikinci asama ile yoketmek icin yaptim.
- ikinci esitlik icin sadece $1/4$'u disari atip payi ve paydayi $2$'ye bolduk.
- ucuncu esitlik icin esittirin sol tarafini $4$ ile carparsak limitimizin (var ise) dort katini buluruz, bundan $L$ cikartirsak, bu $L$ de ilk baslangic $L$'miz, $3L$ elde ederiz, bu nedenle $1/3$ katsayisi var.
- dorduncu esitlikte ise payi $\sin x$ parantezine aliyoruz.