Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
214k kez görüntülendi


Lisans Matematik kategorisinde (35 puan) tarafından 
tarafından düzenlendi | 214k kez görüntülendi

4 Cevaplar

3 beğenilme 0 beğenilmeme

Bence en yanlış öğretilen, haliyle de en yanlış anlaşılan, konulardan birisi limit. Öncelikle, herhangi bir $a$ sayısı için tanımlı $a/0$ diye bir sayı yoktur. Neden, anlatayım. $a$ ve $b$ iki (reel) sayı iken $a/b$'den bahsedebilmek için $$\frac{a}{b}=x, \text{ yani } a=bx$$ denkleminin tam olarak $1$ tane çözümü olması gerekir. Burada $b=0$ yazarsak, yani herhangi bir $a$ sayısını $0$'a bölmeye çalışırsak $$a=0.x$$ denklemiyle karşılaşırız ve tabii ki bu denklemin çözümü $a$ sıfırdan farklıysa yoktur. Demek ki $0$'dan farklı sayıları $0$'a bölemiyoruz. Bunu aklımızda tutalım. Bakalım $0$'ı, $0$'a bölebiliyor muyuz. Bunun için $$0=0.x$$ denklemin bakmalıyız. Fakat bu sefer de denklemimizin sonsuz tane çözümü var. Demek ki herhangi bir sayıyı $0$'a bölemeyiz. Bu bir kenarda dursun. 

Aslında sorunun kendisinde bahsedilen "sayı bölü sıfır", bildiğimiz bölme işleminden değil (çünkü yukarıda anlattığım nedenlerden herhangi bir sayıyı $0$'a bölmek mümkün değildir) bir limitten bahsediyor. Mesela $$\lim_{x \to 0} \frac{1}{x}, \text{ ya da } \lim_{x \to 0} \frac{1}{x^2}$$ gibi. Limit kurallarından bir tanesi şunu söylüyor: Eğer $$\lim_{x \to a} f(x)=L_1 \text{ ve } \lim_{x \to a} g(x) = L_2$$ ise, o zaman $$\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)}=\frac{L_1}{L_2}$$ eşitliği geçerlidir. Fakat bu kural tabii ki $L_2=0$ ise geçerli değildir, olamaz, çünkü $L_1/0$ diye bir sayı tanımlı değildir.

Dolayısıyla eğer $$\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)}$$ formunda bir limiti hesaplamak istiyorsanız ve $\lim_{x \to a}g(x)=0$ ise limit kurallarının güvenli kollarına sığınarak sonucu bulamazsınız. "Sayı bölü sıfır belirsizliği" deyip de içini doldurmaya zahmet etmedikleri, haliyle kimsenin de kolay kolay anlayamadığı durum budur. 

Peki sorular nasıl çözülür? Limit kavramının ne olduğunu anlayarak. Bunu ayrıca yazmak lazım limit başlığında, şimdilik kaba bir tanımla idare edelim: Eğer $x$, $a$'ya yakın değerler alırken, $f(x)$ de $L$'ye yakın değerler alıyorsa bunu $$\lim_{x \to a} f(x)=L$$ diye gösterir ve $x$, $a$'ya giderken $f(x)$'in limiti $L$'dir deriz. Eğer böyle bir $L$ sayısı yoksa fonksiyonun $a$ noktasında limiti yoktur.


Mesela $$\lim_{x \to 0} \frac{1}{x^2}$$ limitine bakalım. Bir kaç sayı verip bakalım: $$x=0.1 \rightarrow 1/x^2= 100, \qquad x=-0.1 \rightarrow 1/x^2= 100$$, $$x=0.01 \rightarrow 1/x^2= 10000, \qquad x=-0.1 \rightarrow 1/x^2= 10000$$

Tabii ki $x$ yerine sıfıra yakın pozitif ya da negatif sayılar koyarsak, $x^2$ yine sıfıra yakın ve pozitif bir sayı çıkar. Ayrıca $1$'i sıfıra yakın pozitif bir sayıya bölersek büyük bir sayı buluruz. Seçtiğimiz $x$ değerleri sıfıra yaklaştıkça, $1/x^2$ değerleri daha da büyük olacaktır. Demek ki $$\lim_{x \to a} \frac{1}{x^2}=L$$ olacak hiç bir $L$ sayısı yoktur, çünkü $L$ sayısını ne kadar büyük seçersek seçelim $1/x^2$, $L$'den büyük değerler alacak.


Fakaaat burada $1/x^2$ fonksiyonu ile ilgili söyleyebileceğimiz önemli bir bilgi var: $x$, sıfıra yakın değerler aldıkça $1/x^2$ fonksiyonu hiç bir üst sınır olmadan istediğimiz kadar büyük değerler alıyor. Bu bilgiyi kısaca $$\lim_{x \to a} \frac{1}{x^2}= \infty$$ diye yazar, fonksiyonumuz "sonsuza gidiyor" ifade ederiz. Dikkat edin burada $\infty$ bir sayı değildir, bir yer de değildir. Sonsuz diye bir sayı da bir yer de yoktur. Yukarıdaki ifade bu fonksiyonun limitinin olduğunu söylemiyor (çünkü yok), fonksiyonun $x=0$ noktası etrafındaki davranışının ne olduğunu söylüyor. Benzer şekilde eğer fonksiyonumuz hiç bir alt sınır olmadan, istediğimiz kadar küçük değerler alırsa bunu "eksi sonsuza gitmek" şeklinde ifade ederiz. 


En son olarak $$\lim_{x \to 0} \frac{1}{x}$$ limitine bakalım. Burada eğer $x$, $0$'a yakın ve pozitif değerler alırsa $1/x$ pozitif büyük bir sayı olur, ve $x$'i pozitif taraftan sıfıra yaklaştırarak $1/x$'i dilediğimiz kadar büyük yapabiliriz. Yani $$\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x}=\infty$$ olur. Öte yandan $x$, yine sıfıra yakın fakat negatifse $1/x$ de negatif olur ve bu sayıyı istediğimiz kadar küçük ($-10$, $-100, \dots$ gibi) yapabiliriz. Yani $$\lim_{x \to 0^-} \frac{1}{x}=-\infty$$ olur. 


(1.8k puan) tarafından 

Bu cevabı desteklediğimi belirtmek istiyorum.

@Salih Durhan hocanın cevabında hem sehven yapılan yanlışlıklar var, hemde anlam olarak bazı noktalarda sıkıntılar var. Öncelikle $\lim\limits_{x\to a}\frac{1}{x^2}=\infty$ nın yapılan açıklamalar paralelinde sanıyorum $\lim\limits_{x\to 0}\frac{1}{x^2}=\infty$ olması gerekiyor.

Öte yandan " $\lim\limits_{x\to 0}\frac{1}{x^2}=\infty$ için diye yazar, fonksiyonumuz "sonsuza gidiyor" ifade ederiz. Dikkat edin burada $\infty$ bir sayı değildir, bir yer de değildir. Sonsuz diye bir sayı da bir yer de yoktur. " denilmiş. Peki sonuç hem bir sayı değil hemde bir yer değil ise o zaman $\lim\limits_{x\to 0}\frac{1}{x^2}=\infty$ yazılışının anlamı nedir? Aradığımız limit neye eşit? Böyle durumlarda maalesef $f(x)$ lerin yaklaştığı değer(sayı) yok mu demeliyiz. Bu sefer de; $x\to 0$ iken başlangıçta belirli reel sayı değerlerine yaklaşan $f(x)$'in, ($x$'in sıfıra daha çok yaklaşmasıyla) giderek alacağı değerlerin(limit olarak kabul edilecek değerin) ne bir sayı, ne de bir yere olarak kabul edilmeyen adına sonsuz dediğimiz bir(garip) şeye gittiğini söylemiş oluyoruz. Oysa, daha biraz önce $f(x)$ çoook büyük değerlere yaklaşıyordu. Ne oldu da birden bire her şey kayboldu/silindi/değişti (!)

Bu sitede okuduğum bir çok yorumda; adına sonsuz dediğimiz ve $\pm\infty$ şekilerinde gösterdiğimiz şeyin sayısal/niceliksel bir şey olmadığı ve bir yer de olmadığı belirtiliyor. Anlaşılan birisi neğatif tarafta birisi de pozitif tarafta iki MATEMATİKSEL KARA DELİK var. Anlaşılıyor ki bazı limitlerin bulunmasında bir süre yaılan işlemlerden sonra,sonuç( fonksiyonun limiti) bir kara deliğe düşüyor. O noktadan sonrasını en azından şimdilik ben bilmiyorum. Bu duruma "limit yoktur" demek ne kadar açıklayıcı. Bence biraz espritüel bir açıklama ile "maalesef sahip çıkamadığımız için limit olarak alacağımız değer kayboldu"demek daha uygun.
Teşekkürler hocam anladım
1 beğenilme 0 beğenilmeme

Limitlere tanımsız denmemeli. 

Çünki limitin bir tanımı var ve bu tanıma uygun bir sayı (veya sonsuz) bulunamıyorsa "limit yok" demek gerekir.

Soruya (payın limitinin sıfırdan farklı bir sayı olduğu durumlarda) cevap olarak "Limit sonsuz olabilir" den daha kesin bir cevap veremeyiz. Çünki limitin sonsuz ($+\infty$ veya $-\infty$) olmasının bir tanımı var, o tanımdaki koşulların sağlanıp sağlanmadığı incelenmelidir.

(5.3k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi
0 beğenilme 0 beğenilmeme

Paydada hiçbir zaman sıfır olamaz. Paydadaki sıfırın anlamı tanımsızdır.

(34 puan) tarafından 

Soruda limit geciyor.

0 beğenilme 1 beğenilmeme

$ \frac {sayı}{0}=\infty$ oluyor.

$\infty$ 'in kendisi limittir. Daha büyüğü yok. 

Limit, sınır koymak, sınırlamak, kısıtlamak  anlamına gelir.

(3.9k puan) tarafından 

peki sağdan yaklaştıgımzda +sonsuz ama soldan yaklaştığımzda -sonsuz oluyor bu zaman limit yoktur anlamına gelmiyor mu?

Limit olması için bir fonksiyonumuzun olması lazım. sonsuz, bir fonksiyon değil, çok büyük bir sayıdır.
Sonsuzun sağı yok ki sağdan yaklaşabilesin. Soldan yaklaştığında sağa doğru gideceğin için cevap sonsuzdur. Yani sağdan limit. Sayı doğrusundaki eksi sonsuz ile sağdaki artı sonsuz kafanı karıştırmasın. f(x)=c gibi bir fonksiyon düşünebilirsin. x  yerine ne koyarsan koy , c değişmez.

Soldan $-\infty$, sagdan $+\infty$ olabilir. Yani limit olmayabilir. Ayrica limit sonsuz olmasinda da limit yoktur, limit sonsuzdur ama yoktur. Limit olmama durumlari farkli. 

Tam da bunu arastirmaya çalışıyordum hocam biraz açar misiniz?

Yani sunu mu demek istiyirsunuz sagdan ve soldan yaklaşımlar sonsuza gitse bile limiitin olmadığı durum var ? Ornek verebilmebiz mümkün mu oyle ise sayet

Teşekkürler simdiden

suitable2015 Hocam, 

"Limit olması için bir fonksiyonumuzun olması lazım. sonsuz, bir fonksiyon değil, çok büyük bir sayıdır." demişsiniz, benim bildiğim "sonsuz" bir sayı değildir:

http://matkafasi.com/2079/kavramini-aciklayiniz-sayilabilir-demektir-sonsuzlar-arasinda

19,346 soru
21,132 cevap
70,607 yorum
24,399 kullanıcı