Sonsuz kavramını açıklayınız. Sayılabilir sonsuz ne demektir? Sonsuzlar arasında bir sıralama var mıdır?

2 beğenilme 0 beğenilmeme
13,197 kez görüntülendi
25, Şubat, 2015 Lisans Matematik kategorisinde Mehmet Toktaş (18,763 puan) tarafından  soruldu

Doğal sayılar kümesi sonsuz elemana sahip ama 1,2,3,4... diye sayıyoruz. Daha detaylı cevapları ben de okuyacam.

Bir soru için yaptığım site içi aramada, bu soruya çok doyurucu,çok güzel cevaplar veren çok değerli hocalarıma teşekkür etmediğimi görünce çok utandım. Soruya emek harcayıp cevap vermek zahmetinde ve inceliğinde bulunan bütün hocalarıma ve arkadaşlara ( iki yıl gecikmeyle)  çok çok teşekkür ediyorum. 

4 Cevaplar

3 beğenilme 0 beğenilmeme

Sonsuz kavramı üzerinde çok konuşulan, çok tartışılan bir kavram. Bir belirsizlik durumu söz konusu aslında. 'sonlu olmayan' şeye verilen ad demek de çok doğru değil. Bir limit değeri olarak incelemek daha mantıklı gibi. Ama şurası kesin ki $\infty$ olarak gösterdiğimiz ve 'sonsuz' olarak adlandırdığımız 'şey' bir sayı değildir. Üzerine basarak böyle dememin sebebiyse genelde 'tüm sayılardan büyük olan bir sayı' olarak kullanılan yanlış bir tanımının olması.

Şimdi şu kümeleri inceleyelim, $\mathbb{N},\mathbb{Z},\mathbb{Q},\mathbb{R},\mathbb{C}$. Biliyoruz ki bu kümelerin eleman sayısı sonlu değil, yani bunlar sonsuz kümeler. Yine biliyoruz ki bir alt küme sıralaması yapmak istersek

\begin{equation}\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}\subset\mathbb{C} \end{equation} sıralamasını elde ederiz.

Diğer yandan sonsuz kümeler arasında da bir ayrım yapmak mümkün. Çok kötü bir ifadeyle $\mathbb{R}$ kümesi, $\mathbb{Q}$ kümesinden daha sonsuz! Nasıl mı? Biraz tanım yapalım.

Tanım: Bir $A$ kümesi ile $\mathbb{N}$'nin bir alt kümesi arasında bir eşleme (yani birebir ve örten bir fonksiyon, bijection) kurabiliyorsak $A$ kümesine sayılabilir küme adı verilir.

$A$ kümesi sonlu ise bu eşleme tabii ki var, ilginç olan durum $A$'nın sonsuz olduğu durum.

Tanımdan ilk bakışta çıkan sonuç şu, $\mathbb{N}$ kümesi sayılabilir sonsuz bir kümedir. Diğer yandan kolayca gösterilebilir ki $\mathbb{Z}$ kümesi de, dahası $\mathbb{Q}$ kümesi de sayılabilir sonsuz kümelerdir. Yani $\mathbb{N}$ ile $\mathbb{Z}$ arasında ve $\mathbb{N}$ ile $\mathbb{Q}$ arasında birebir ve örten fonksiyonlar yazılabilir. (Yazmadıysanız daha önce deneyin, gerçekten çok eğlenceli) Bu tip kümelerin hepsini aynı sınıfta düşünüyoruz ve bu sınıfa da $\aleph_0$ diyoruz.

Diğer yandan $\mathbb{R}$ ve $\mathbb{C}$ kümeleri sayılabilir sonsuz kümeler değiller yani $\mathbb{N}$ ile $\mathbb{R}$ ve $\mathbb{N}$ ile $\mathbb{C}$ arasında eşleme bulmak mümkün değil. Bu tip kümelere de sayılamaz küme adı verilir. Gel gelelim, $\mathbb{R}$ ile $P(\mathbb{N})$ arasında ve $\mathbb{C}$ ile $P(\mathbb{N})$ arasında bir eşleme kurmak mümkün (bunu soru olarak ekleyeceğim), burada $P(\mathbb{N})$ ile $\mathbb{N}$'nin kuvvet kümesini (power set) yani $\mathbb{N}$'nin alt kümelerinin kümesini kastediyorum. Bu tip kümeleri de aynı sınıfta düşünüyoruz ve bu sınıfı da $\aleph_1$ olarak gösteriyoruz.

Benzer olarak $P(\mathbb{N})$ kümesiyle değil de, $P(P(\mathbb{N}))$ kümesiyle yani $\mathbb{N}$'nin kuvvet kümesinin kuvvet kümesiyle aralarında eşleme olan kümeler bulunabilir. Bu tip kümeleri de aynı sınıfta düşünüp bu sınıfa $\aleph_2$ adını veriyoruz. Ve devam ederek, $\aleph_3,\aleph_4\dots$.

'Eleman sayısı' kavramı sonlu kümeler için geçerli olan bir kavram. Sonsuz kümeler içinse 'güçlülük' (cardinality) kavramını kullanıyoruz. Yani bu anlamda $\mathbb{N}$ kümesi ile $\mathbb{Z}$ kümesi aynı güçlü, halbuki $\mathbb{N}$ kümesi $\mathbb{Z}$'den çok daha küçük!

Sonsuz kümeler arasındaki sıralama denen şey de işte bu $\aleph$ kavramı. Yani aslında sonsuzluğun boyutları hakkında konuşuyoruz.

Daha detaylı bilgiler için temel bir kümeler kuramı (set theory) kitabı incelenebilir. Kardinaller, ordinaller ve belki de papalar eşliğinde.

25, Şubat, 2015 Enis (1,075 puan) tarafından  cevaplandı
$|P(\mathbb{N})|$ ile $\aleph_1$ aynı şey değildir. Bu kümelerin aynı kardinalitede olduğu varsayımı süreklilik hipotezi olarak adlandırılır ve kümeler kuramından bağımsız bir önermedir. Benzer şekilde $|P(P(\mathbb{N}))|$ kümesinin kardinalitesi de $\aleph_2$ olmak zorunda değildir. $\aleph_{\alpha+1}$'in $|P(\aleph_{\alpha})|=2^{\aleph_{\alpha}}$ olduğu varsayımı da genelleştirilmiş süreklilik hipotezidir ve bu varsayım da kümeler kuramı belitlerinden bağımsızdır.

Çok hoş bir cevap olmuş gerçekten. Eğer inceleme şansı olursa Hilbert Oteli'ne göz atılmasını da  tavsiye ederim. 

Belirttiğiniz gibi sonsuz kavramı için bir belirsizlik mevcut. Sonsuzlukları karşılaştırmak ne kadar doğru peki? 

Kullandığım kaynaklar tam olarak bu dersin kaynakları olmadığı için zannediyorum doldurulması gereken boşluklar ve küçük yanlışlar var.  Soruyu çok akademik görmediğim için cevabı küçük detaylarla doldurmak istemedim. Amacım 'kabaca' yani (her zaman olduğu gibi) sezgisel olarak cevap vermekti. 

Sonsuzları karşılaştırmak ifadesi yerine onları sınıflandırmak ifadesi daha hoş bence. Nitekim bu matematikte sık yapılan bir şey. 

Merhaba,

Zaten genel olarak açıklayıcı bir cevap vermişsiniz. Öte yandan $\aleph_1$'in gerçel sayıların kardinalitesi olarak tanımlandığı hatasını yapan (ve ilgili alanda uzman olmayan) profesyonel matematikçilere bile rastladığım için bu sık yapılan karışıklığa bir vurgu yapmak istemiştim.

Bahsedilen sayılar, yani doğal sayılar ile başlayıp kuvvet kümesi alarak ilerlediğimizde elde ettiğimiz kümelere karşılık gelen kardinal sayılar, $\aleph$ sayıları değil de $\beth$ sayıları olarak adlandırılır ve $\beth$ sayılarının $\aleph$ sayıları içerisinde nasıl dağıldığıyla ilgili çoğu önerme kümeler kuramı belitlerinden bağımsızdır.

Bu hata muhtemelen bana o matematikçilerden geçmiş :) 

Bu güzel düzeltme, vurgu ve yorum için teşekkür ederim. 

1 beğenilme 0 beğenilmeme
Kümeler kuramı açısından cevap vermek gerekirse, önce şu cevaptaki gibi doğal sayıları inşa ediyoruz.

Tanım: Bir küme sonsuzdur ancak ve ancak bir doğal sayı ile arasında eşleme yoksa.
Tanım: Bir küme Dedekind-sonsuzdur ancak ve ancak bir öz altkümesi ile arasında bir eşleme varsa.

Seçim belitinin bir sonucu olarak bir küme sonsuzdur ancak ve ancak Dedekind-sonsuz ise. Yani bir kümenin sonsuz olması yukarıdaki iki koşula denktir.

Elemanları $\in$ bağıntısı tarafından iyi sıralanmış geçişken kümelere ordinal sayı denir. İyi sıralı her kümenin bir ordinale sıralama yapısıyla eş yapısal olduğu biraz uğraşla kanıtlanabilir. Seçim belitinin eş değer ifadelerinden bir tanesi de her kümenin iyi sıralanabilir olduğudur. Bunun sonucunda her küme bir ordinal sayı ile eşlenebilir.

Ordinal sayılar $\in$ altında iyi sıralanmış bir sınıf oluşturur ve kendisinden önceki ordinaller ile eşlenemeyen ordinal sayılara kardinal sayılar denir. Kardinal sayılar kümelerin büyüklüklerini ölçmek için kullandığımız bir tür ordinal sayılardır ve bir üstteki paragrafın bir sonucu olarak her küme bir kardinal sayı ile eşlenebilir.

$\mathbb{N}$ kümesi ilk sonsuz kardinal (ve ilk limit ordinaldir) ve $\omega$, $\omega_0$ ya da $\aleph_0$ sembolleri ile gösterilir. Bu kümeyle arasında bir eşleme olan kümelere sayılabilir sonsuz diyoruz. $\aleph_0$'nun bir alt kümesiyle eşlenebilen kümelere de sayılabilir küme diyoruz, ki bu kümeler sonlu kümeleri de kapsar.

Cantor'un teoremi gereği her kümenin kuvvet kümesinin kardinalitesi kendisinden daha büyüktür. Dolayısıyla sayılabilir sonsuz bir küme alırsanız bu kümenin kuvvet kümesi iyi sıralandığında eşlenebildiği kardinal $\omega_0$ olamaz. Demek ki $\omega_0$'dan büyük kardinaller olmak zorunda. Ordinaller iyi sıralı bir sınıf olduğu için böyle kardinallerin en küçüğü de olmak zorunda. Bu kardinale $\omega_1$ diyelim. $\omega_1$'in tüm sayılabilir ordinallerin kümesi olduğu kolayca gösterilebilir. Hatta tersten giderek $\omega_1$'in tanımını tüm sayılabilir ordinallerin kümesi olarak yapıp en küçük sayılamaz kardinal olduğunu da gösterebilirsiniz.

Sayılamaz sonsuz dediğimiz şey kardinalitesi $\omega_1$'den büyük eşit olan kümelerdir. Başka bir deyişle bir küme sayılamaz sonsuzdur ancak ve ancak $\omega_1$'den o kümeye birebir bir fonksiyon var ise.

Sonluötesi özyineleme ile $\omega_0=\omega$ ve her $\alpha$ ordinali için $\omega_{\alpha+1}$'i kardinalitesi $\omega_{\alpha}$'dan büyük en küçük kardinal olarak tanımlıyoruz. $\alpha$'nın bir limit ordinal olduğu durumlarda ise $\omega_{\alpha}=\bigcup_{\beta < \alpha} \omega_{\beta}$ olarak tanımlıyoruz. Böylece tüm kardinal sayıları ordinal sayılar ile eşleyebiliyoruz. İki sonsuz kümeyi karşılaştırmak istediğiniz zaman yapmanız gereken tek şey ise bu kümelerin eşleştikleri kardinal sayıları karşılaştırmak.

Dikkat edilmesi gereken bir nokta şu ki $P(\mathbb{N})$ kümesinin kardinalitesi $\omega_1$ olmak zorunda değildir. Bu varsayıma süreklilik hipotezi denir ve kümeler kuramı belitlerinden bağımsızdır. Yani bu hipotezi ne kanıtlayabilirsiniz ne de çürütebilirsiniz. Hatta biraz daha teknik detaylara girersek $P(\mathbb{N})$ kümesinin kardinalitesinin, ki $2^{\aleph_0}$ ile gösterilir, eş sonluluğu $\omega$ olmayan herhangi bir sayılamaz kardinal olduğu varsayımının kümeler kuramının belitleri ile tutarlı olduğu zorlama tekniği ile gösterilebilir.
25, Şubat, 2015 Burak (1,269 puan) tarafından  cevaplandı
25, Şubat, 2015 Burak tarafından düzenlendi
0 beğenilme 0 beğenilmeme

çok basit bir anlatımla şöyle diyebiliriz mesela doğal sayılar kümesi 0 dan sonsuza kadar giden sayılardır.doğal sayılar kümesine sayılabilir ve sonsuzdur denir.doğal sayılar kümesine 0 dan başlayıp sayabiliriz ama sonsuza kadar gider.mesela 0 ve 1 arasındaki rasyonel sayıları sayalım 0-1 arasında sonsuz tane rasyonel sayı vardır ama saymaya çalışsak sayamayız 

25, Şubat, 2015 asena (65 puan) tarafından  cevaplandı

Dediğin doğru değil, 0 ile 1 arasındaki rasyonel sayılar sayılabilir. Bkz. https://matematikkoyu.org/e-kutuphane/ders-notlari/skk.pdf, sayfa 197-200.

0 beğenilme 0 beğenilmeme

https://matematikkoyu.org/e-kutuphane/ders-notlari/skk.pdf adresindeki kitabın ikinci kısmı (sayfa 179 ve sonrası) bu konu üzerine. Daha ileri seviyede bilgi için http://www.acikders.org.tr/course/view.php?id=25 ve bir sonraki cilt olan http://www.acikders.org.tr/course/view.php?id=26.

26, Şubat, 2015 anesin (725 puan) tarafından  cevaplandı
...