Eğer $X$ sonsuz bir kümeyse, $X$'ten bir eleman atarsak, kalan küme $X$'e eşlenik olur mu?

Question

 Tanım. Aralarında eşleme olan iki kümeye eşlenik ya da denk kümeler diyelim.

Benim sorum: Eğer $X$ sonsuz bir kümeyse, $X$'ten bir eleman atarsak, kalan küme $X$'e eşlenik olur mu?

Sorumun özel bir hali: $\mathbb{R}$ ile $\mathbb{R}$\ {$0$} eşlenik mi?

Answer 1

$X$ sonsuz bir kümeyse verilen bir $a \in X$ için $X$'in sayılabilir sonsuz bir $S$ alt kümesi bulunabilir öyle ki $a \notin S$ olur. $g: \mathbb{N} \rightarrow S$ bir eşleme olsun. Bu durumda eğer $x \in (X\setminus\{a\}) \setminus S$ ise $f(x)=x$, eğer $x \in S$ ise $f(x)=g(g^{-1}(x)+1)$ ve $f(a)=g(0)$ şeklinde tanımlanan $f: X \rightarrow X \setminus \{a\}$ fonksiyonu bir eşlemedir.

Comments

güzel cozum  ama $f(x)=g(g^{-1}(x)+1)$ derken tam ne yaptıgınızı anlayamadım hocam.saygılar sevgiler

---

S'nin elemanlarını numaralandırdıktan sonra (g fonksiyonu ile) bir kaydırıyor. (S kümesinin k. elemanı k+1. elemana gönderiliyor.)

---

Teşekkürler.

Answer 2

"hılbert hotelı " cozum için tam bir yardım sağlayabilir.Veya söyle düşünelim, $\mathbb{N}$ doğal sayılar kümesinde çalışalım , "$0\in\mathbb{N}$" ise $\mathbb{N}$\ {$0$} kümesini düşünelim yani 0 elemanını biryere saklayalım ve geri kalan elemanları $\mathbb{N}$ ile eşleyelim

$\mathbb{N}$\ {$0$} ={$1,2,3,4,5,..............,n......$}

$\mathbb{N}$={$0,1,2,3,4,5,..............,n......$}

$\mathbb{N}$\ {$0$}  daki  1 ile $\mathbb{N}$ deki 0

$\mathbb{N}$\ {$0$}  daki  2 ile $\mathbb{N}$ deki 1

$\mathbb{N}$\ {$0$}  daki  3 ile $\mathbb{N}$ deki 2

:
:

$\mathbb{N}$\ {$0$}  daki  n+1 ile $\mathbb{N}$ deki n

gördüğün gibi $\mathbb{N}$\ {$0$} olmasına rağmen $\mathbb{N}$ ile eşledim

Comments

R'yi hayli hayli eşlersin çünki daha yogundur ve sürekli eşlenebilecek eleman bulunur.

---

Peki nasıl eşleriz?

---

sanıyorum keyfi eşleyebilirsin; bir deneme yapıyım büyük abilerimiz hocalarımız düzeltirler hata varsa;

fonksiyon kullanıcagım , eşleme demek 2 küme var ise ; bir kümedeki elemanın diğer kümedeki elemana gitmesidir tam eşlenmeleri için tüm elemanların birbirlerini eşlemeleri gereklidir o zaman;

$\mathbb{X_0}$ ve  $\mathbb{X_1}$kümesi için

$a,b\in\mathbb{X_0\subseteq X_1}$ için

$f:\forall a\in\mathbb{X_0}\longrightarrow \forall b\in\mathbb{X_1}$ oluyorsa eşlenebiliyordur deriz.