$\mathbb Q$ da bir elemandan sonra gelen eleman.

Question

1)

$\mathbb Q$ da bir eleman alalım $x_0\in\mathbb Q$ ve diyelim ardılı $x_1$ olsun, ama $\dfrac{x_0+x_1}2$ sayısı da rasyonel olacağından çelişki elde ederiz. Demekki $\mathbb Q$ da rasyonel sayıların ardılları yokmuş.

2)
$\mathbb Q$ sayılabilir olduğundan bir dizi şeklinde yazılabiliyor; hatta iyi sıralı bir dizi şeklinde de yazabiliyoruz. Diyelim $\{r_i\}_{i=0}^\infty$ rasyonel sayıların iyi sıralı dizisi olsun (olamayacağını iddia edebilir miyiz ki?)

Sorum şu, 1 ve 2 deki kümeler aynı değil mi ?1 de ardılını bulamadığımız sayılar olmasına rağmen 2 de her rasyonel sayının ardılını bulabiliyoruz (çünki iyi sıralı olarak dizi şeklinde yazdık ama $\mathbb Q$ zaten iyi sıralı).

Eğer öyle değilse, o zaman 2 de yaptığım diziyi yapamıyorum ama neden yapamıyorum?

Comments

Pozitif tam sayilari $1,3,2,8,6,7,\cdots$ olarak siralayabiliriz fakat $1,2,3,4,\cdots$ olarak siraliyoruz... Gercel sayilardaki siralamaya gore degil. Kumeyi farkli siralayinca evet.

Bu siralamayi da $\mathbb Z^{+}$ ile olan eslemeden gelen fonksiyonla kurabilirsin.

---

Ama soruda $1,3,2,8,6,7$ gibi bir sıralama yapabilmemize ihtimal veren bir durum yok ki. Kümeden veya 2) de tanımladığım dizide herhangi iki eleman seçiyorum indisi büyük eleman daha büyük oluyor.

$1,3,2,8,6,7$  burada 2. eleman 3. elemandan büyük.

---

Neden yok? Belirli sartlari saglayan bir silama var mi, yok mu, soru bu... Istedigim gibi siralarim, varsa vardir, yoksa yoktur. Soru boyle degil mi?

  
Son cumlendeki sekilde $\mathbb Q$'yu da siraliyorsun, bir dizi oluyor, biri digerinden daha buyuk oluyor ve ardili vs oluyor.

---

1) şıkkındaki zaten $\mathbb Q$

2) şıkkındaki $\{r_i\}_{i=0}^\infty$  ise $\forall i\ge 0, r_i<r_{i+1}$ özelliğinde sıralansın ve direkt $Q_a=\{r_i: i\in\mathbb N\}$ demek istedim.

ben boyle sıralamaların varlıgından emınım zaten sadece bu yorumdaki gibi sıralarsam bu 2 küme $\mathbb Q$ ve $Q_a$ aynı elemanları aynı sırada barındırmasına rağmen neden ardıllık özellikleri aynı değil diye merak ediyorum.

---

aynı şeyi tekrar etmediğimin farkındayım, son yorumdaki altı çizili kısmı tüm anlamadıgım nokta olarak söyleyebilirim

---

Soyle diyeyim: hic siralama koyma. Sadece kume olsun, rasyonel sayilarin kumesi... Bu durum da var.

Bu sadece bir kume. Toplama, carpma vs yok. 

Ozellik belirliyorsun. HTML diliyle anlatacak olursam: <div style=""></div> Hepsi div olasa da stilleri farkli olabilir.

---

"hatta iyi sıralı bir dizi şeklinde de yazabiliyoruz"

(Sıralamayı koruyan kastediliyor sanırım) Doğru değil. Öyle olsaydı $r_0$ dan küçük rasyonel sayı olmazdı.

---

anladım, negatif rasyonel sayıların altsınırı olmadığı için 2) deki sıralama korunumu savım yanlış. O zaman 

1) sadece pozitif rasyonel sayılar

2)$\{ |r_i|\}_{i=0}^\infty$ gibi olsa yanı pozitifleri yukardaki mantıkla sıralasak

o zaman sıralı pozitif rasyoneller kümesi ile $(\mathbb Q,<)$

bu dizinin sıralı kümesinin $(\{r_i: \forall i\in\mathbb N,r_i\in \mathbb Q^+, r_i<r_{i+1}\},<)$ 

eş olması gerekirken gene ardıl bulma problemi olmuyor mu Dogan hocam?

---

$\frac{r_0}2=r_n $ olmalı. Böyle bir $n$ yok.