Question

1)Metrik uzayda açık yuvar nasıl tanımlanır?

 2) Normlu uzayda açık birim yuvar ve kapalı birim yuvar nasıl tanımlanır?

Answer 1

Tanım: $(X,d)$ metrik uzay, $\,\ a\in X\,\ $ ve $\,\ \epsilon>0$ olmak üzere $a$ noktasına uzaklığı $\epsilon$ sayısından küçük olan uzayın bütün noktalarının oluşturduğu kümeye $a$ merkezli $\epsilon$ yarıçaplı açık yuvar denir ve $B^d(a,\epsilon)$ ile gösterilir. Biçimsel olarak

$$B^d(a,\epsilon):=\{x|d(x,a)<\epsilon, x\in X\}$$

bir karışıklığa meydan vermeyecekse

$$B(a,\epsilon):=\{x|d(x,a)<\epsilon, x\in X\}$$

şeklinde ifade edilir.

Tanım: $X:=\left[(X,\oplus),\odot, (F,+,\cdot), ||\cdot||\right]$ normlu lineer uzay olmak üzere $(F=\mathbb{R} \text{ veya } \mathbb{C})$

$$B(0_X,1_F):=\{x\big{|}(||x||<1_F)(x\in X)\}$$

kümesine birim açık yuvar ve

$$\widetilde{B}(0_X,1_F):=\{x\big{|}(||x||\leq 1_F)(x\in X)\}$$

kümesine de birim kapalı yuvar denir.

Not: $0_X, \ ``\oplus" $ işleminin birim elemanı ve $1_F,\ ``\cdot"$ işleminin birim elemanı

Comments

Bazı kaynaklarda $\epsilon$ herhangi bir gerçel sayı olarak alınıyor.