UNM - PNM STATEWIDE polinom sorusu

Question

İngilizce'den Türkçe'ye çevrilmiştir:

Kaynak:http://mathcontest.unm.edu/exams/2015-2016/round%201%20fall%202015%20questions.pdf

 $ f(x) = x^ 5 +x^4 +x^3 +x ^2 +x+ 1  $ ve  $g(x) = x^3 +x^2 −1 $ olsun.

Katsayıları tamsayı olan  q(x) ve  r(x)  polinomlarını bulunuz, öyle ki,

 f(x) = g(x).q(x) + r(x) ,   ve  r(x)  'in derecesi  3'ten az olsun.

 

Answer 1

$x^5+x^4+x^3+x^2+x+1=(x^3+x^2-1)(x^2+1)+x^2+x+2$ olduğundan $r(x)=x^2+x+2$ olur.

Comments

Kalanı kontrol eder misiniz?

---

Teşekkür ederim. Düzelttim.

---

Bence kontrol etttirmek yerine cevabı biliyorsanız cevabı verin. Yani doğru fikirli cevap vereni işlemlerle boğdurmaya gerek yok.  Genel yorumum.

Answer 2

İfadeyi $$f(x)=x^2(x^3+x^2-1)+(x^3+x^2-1)+x^2+x+2$$ yani $$f(x)=(x^3+x^2-1)(x^2+1)+(x^2+x+2)=g(x)p(x)+r(x)$$ olarak yazabiliriz.

Ayrıca kalanı ve bölümü bulmak için $x^3+x^2=1$ eşitliği çok yardımcı oluyor verilen $f$ fonksiyonu için. Kolay bir soru olmuş.

Comments

Polinomun $ x^3+x^2-1$ 'e bölünebilmesi için bu ifade sıfıra eşitlenerek,

 yapılacak dönüşüm bulunur.

$ x^3+x^2-1=0 $ , buradan $ x^3+x^2=1  $ bulunur .

 $ x^3+x^2$ ifadesi yerine polinomda 1 yazılırsa, kalan bulunur.

$x^5+x^4+x^3+x^2+x+1$

=$x^2(x^3+x^2)+ ( x^3+x^2)+x+1$

=$x^2. (1)+(1)+x+1=x^2+x+2 $ kalan fonksiyonu bulunmuş olur.

---

Bu yöntemi sıklıkla kullanıyoruz ama bunun ne kadar doğru olduğu tartışmalı değil mi? Mesela reel katsayılı ve reel değerli $P(x)=x^{10}+x+1 $ polinomunun $Q(x)=x^2+1$ ile bölümünden elde edilen kalanı bulmak için $P(x)$'de $x^2=-1$ yazıyoruz. Bir defa neden $Q(x)=0$ yapıyoruz. İkincisi $x^2=-1$ eşitliği reel sayılarda sağlanmaz. Peki bütün bunlara rağmen neden böyle bir işlem yapıyoruz?

---

Sayın Metok, burada denklem çözmüyoruz,x'in  reel yada karmaşık değerini  bulmuyoruz. Sadece dönüşüm yapıyoruz. Verdiğiniz örnekte x'i bulmaya gerek yok. x^2=-1 değerini (x^2)^5 +x+1 'de yerine koyup kalanı buluyoruz. Kalan=(-1)^5+x+1=x, Uzun bölme yapılırsa bu kalan bulunur.

---

İstediğim cevap tam olarak bu değil. Yazdıklarınızı ben de biliyorum. Ve hatta çoğu kez de uyguluyoruz. Ama bu yaklaşımın, yaptıklarımızın matematiksel olarak doğru olmadığını düşünüyorum.

---

Sadece $\mathbb Z[x]$ (ya da $\mathbb R[x]$) uzerinde moduler aritmetik yapiyoruz. Bu da polinom bolmesinde kalana denk geliyor. $x^2 \equiv -1 \mod (x^2+1)$ yazimi dogru olan. Fakat pratik olarak sanki esitmis gibi goruyoruz.